Неравенство n-факториала и среднего квадратического

Неравенство n-факториала и среднего квадратического

Неравенство n-факториала и среднего квадратического — неравенство, гласящее, что n-факториал меньше n-степени среднего квадратического n первых натуральных чисел.

Обозначения

n – число натуральных чисел;

i² – квадрат i-го натурального числа.

n! – факториал натурального числа n.

Формула неравенства

$n{\text{!}}<{\left({\sqrt {\frac {1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}}{n}}}\right)}^{n}\Leftrightarrow n{\text{!}}<\left({\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}i^{2}}}\right)^{n}\Leftrightarrow n{\text{!}}<\left[{\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}\right]^{\frac {n}{2}}$

Доказательство

Доказательство неравенством Коши неравенства n-факториала и среднего квадратического

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.24, 168 с.