Обобщённое неравенство Бернулли

Обобщённое неравенство Бернулли

Обобщённое неравенство Бернулли — неравенство, гласящее, что действительное число x>-1 в действительной степени r при r≤0 или r≥1 не меньше выражения 1+rx, а при 0<r<1 не больше выражения 1+rx.

Обозначения

r – действительное число;

x – действительное число, x>-1;

a – положительное действительное число.

Формула неравенства

${\begin{cases}(1+x)^{r}\geq 1+rx,\ r\leq 0\\(1+x)^{r}\leq 1+rx,\ 0<r<1\\(1+x)^{r}\geq 1+rx,\ r\geq 1\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство неравенством r-степени числа обобщённого неравенства Бернулли

• При x=a-1 обобщённое неравенство Бернулли становится неравенством r-степени числа.

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, — М., Наука, 1985, стр. 212, 544 с.

Ссылки

• https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Бернулли