Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли — неравенство, гласящее, что действительное число x>-1 в степени n не меньше выражения 1+nx.

Обозначения

n — натуральное число;

x — действительное число, x>-1.

Формула неравенства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1+x)^n\ge 1+nx,\ x>-1}

Доказательство 1

Метод математической индукции для неравенства Бернулли

Доказательство 2

Доказательство неравенством n-степени числа неравенства Бернулли

• При x=a-1 неравенство Бернулли становится неравенством n-степени числа.
• При x=0 неравенство Бернулли становится равенством.
• При x≠0 неравенство Бернулли становится строгим неравенством.

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, — М., Наука, 1985, стр. 212, 544 с.

Ссылки

• https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Бернулли