Неравенство r-степени числа

Неравенство r-степени числа

Неравенство r-степени числа — неравенство, гласящее, что положительное число a в действительной степени r при r<0 или r>1 не меньше выражения ra-r+1, а при 0<r<1 не больше выражения ra-r+1.

Обозначения

m, n – натуральные числа, m>n;

p – рациональное число больше 1, p=m/n;

q – иррациональное число больше 1;

r, α, β, γ – действительные числа, α>1, β<0, 0<γ<1;

a, b – положительные действительные числа.

Формула неравенства

${\begin{cases}a^{r}\geq ra-r+1,\ r\leq 0\\a^{r}\leq ra-r+1,\ 0<r<1\\a^{r}\geq ra-r+1,\ r\geq 1\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство 1

Доказательство неравенства r-степени числа

Доказательство 2

Доказательство обобщённым неравенством Бернулли неравенства r-степени числа

• Неравенство верно при r<0, r>1. При 0 и 1 обращается в равенство. Противоположное неравенство верно при 0<r<1.
• При a=1+x неравенство r-степени числа становится обобщённым неравенством Бернулли.

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.