Доказательство неравенства r-степени числа

Доказательство неравенства r-степени числа.

Обозначения

m, n – натуральные числа, m>n;

p – рациональное число больше 1, p=m/n;

q – иррациональное число больше 1;

r, α, β, γ – действительные числа, α>1, β<0, 0<γ<1;

a, b – положительные действительные числа.

Формула неравенства

Доказательство

Рассмотрим случаи.

Сначала докажем неравенство для положительных рациональных степеней больше 1.

Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при p→q.

Подстановка a^́α=a^́1-β=b^́β-1 или a=b^́-1 при α>1 приводит к неравенству при β<0:

Подстановка a^́α=a^́1/γ=b при α>1 приводит к противоположному неравенству при 0<γ<1:

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
24. ММИ для неравенства произведения n факториалов чётных чисел;
25. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
26. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
27. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
28. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.

Ссылки

• Участник:Logic-samara