Доказательство неравенства трёх квадратов

Доказательство неравенства трёх квадратов.

Обозначения

$a,b,c$ – действительные числа;

$a^{2},b^{2},c^{2}$ – квадраты действительных чисел;

$ab,bc,ca$ – попарные произведения действительных чисел.

Формула неравенства

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Доказательство

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)=(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)\geq 0\Rightarrow$

$\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ .

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство степеней n и n+1;
5. неравенство трёх квадратов;
6. неравенство трёх кубов;
7. неравенство трёх попарных отношений;
8. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
9. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
10. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
11. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
12. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
13. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
14. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
15. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
16. ММИ для неравенства Бернулли;
17. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
18. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
19. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.72, 168 с.