Доказательство неравенством Коши неравенства n-факториала и среднего квадратического

Доказательство неравенством Коши неравенства n-факториала и среднего квадратического использует неравенство Коши.

Обозначения

n – число натуральных чисел;

i² – квадрат i-го натурального числа.

x_i – неотрицательное число;

n! – факториал натурального числа n.

Формула неравенства

Доказательство

Возьмём неравенство Коши.

Учтём из доказательства неравенства Коши методом Штурма, что для неравных x_i неравенство выполняется как строгое.

Полагая, что x_i=i² , получаем.

ч.т.д.

Эквивалентные формулы получаем, учитывая формулу суммы квадратов n натуральных чисел.

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
24. ММИ для неравенства произведения n факториалов чётных чисел;
25. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
26. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
27. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
28. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В. И. Левина, Изд.2, 2007, стр.24.

Ссылки

• Участник:Logic-samara