Доказательство неравенства трёх кубов

Доказательство неравенства трёх кубов.

Обозначения

$a,b,c$ – неотрицательные числа;

$a^{2},b^{2},c^{2}$ – квадраты неотрицательных чисел;

$a^{3},b^{3},c^{3}$ – кубы неотрицательных чисел;

${\frac {a+b+c}{3}}$ – среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел.

Формула неравенства

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}){\frac {a+b+c}{3}}$

Доказательство

Применим неравенство_p-ичных_средних при p₁=1 и p₂=3, при p₁=2 и p₂=3.

${\frac {a+b+c}{3}}\leq \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}},\left({\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\right)^{\frac {1}{2}}\leq \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\Rightarrow {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\leq \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {2}{3}}\Rightarrow$ .

$\Rightarrow {\frac {a+b+c}{3}}\cdot {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\leq \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {2}{3}}\Rightarrow {\frac {a+b+c}{3}}\cdot {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\leq {\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\Rightarrow$

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2}){\frac {a+b+c}{3}}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}){\frac {a+b+c}{3}}$

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство степеней n и n+1;
5. неравенство трёх квадратов;
6. неравенство трёх кубов;
7. неравенство трёх попарных отношений;
8. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
9. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
10. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
11. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
12. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
13. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
14. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
15. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
16. ММИ для неравенства Бернулли;
17. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
18. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
19. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.78-79, 168 с.