Неравенство трёх кубов

Неравенство трёх квадратов

Неравенство трёх кубов — неравенство для неотрицательных чисел, гласящее, что сумма трёх кубов не меньше произведения суммы трёх квадратов на среднее арифметическое этих чисел.

Обозначения

$a,b,c$ – неотрицательные числа;

$a^{2},b^{2},c^{2}$ – квадраты неотрицательных чисел;

$a^{3},b^{3},c^{3}$ – кубы неотрицательных чисел;

${\frac {a+b+c}{3}}$ – среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел.

Формула неравенства

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}){\frac {a+b+c}{3}}$

Доказательство

Доказательство неравенства трёх кубов

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.25,78-79, 168 с.