Неравенство Маркова

62. Неравенство Маркова (Андрей Михайлович Райгородский [27:00]

Неравенство Маркова — неравенство, гласящее: вероятность того, что непрерывная положительная случайная величина превысит некоторое положительное число, не более отношения её математического ожидания к заданному числу. Открыто А. А. Марковым, названо в честь него же.

Обозначения

X — непрерывная положительная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание положительной случайной величины X;

ε — положительное число большее чем M(X).

Формула неравенства

$P(X\geqslant \varepsilon )\leq {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

$P(X>\varepsilon )\leq {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Следствие

$P(X<\varepsilon )\geq 1-{\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

$P(X\leqslant \varepsilon )\geq 1-{\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

Доказательство 1

$M(X)=\int \limits _{0}^{\infty }xf(x)dx\geqslant \int \limits _{\varepsilon }^{\infty }xf(x)dx\geqslant \int \limits _{\varepsilon }^{\infty }\varepsilon f(x)dx=\varepsilon \int \limits _{\varepsilon }^{\infty }f(x)dx=\varepsilon P(X\geqslant \varepsilon )\Rightarrow M(X)\geqslant \varepsilon P(X\geqslant \varepsilon )\Rightarrow P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

Примечания

Неравенство Маркова применимо для дискретной положительной случайной величины X в виде:

$P(X>\varepsilon )\leqslant {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

Следствие неравенства Маркова применимо для дискретной положительной случайной величины X в виде:

$P(X\leqslant \varepsilon )\geqslant 1-{\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

Доказательство 2

Пусть для дискретной положительной случайной величины X, представленной в упорядоченном виде, выполняются неравенства:

$x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{k}\leqslant \varepsilon <x_{k+1}\leqslant x_{k+2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}$

Тогда отсюда следует:

$M(X)={\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}}\geqslant {\sum \limits _{i=k+1}^{n}x_{i}p_{i}}\geqslant {\sum \limits _{i=k+1}^{n}\varepsilon p_{i}}=\varepsilon {\sum \limits _{i=k+1}^{n}p_{i}}=\varepsilon P(X>\varepsilon )\Rightarrow M(X)\geqslant \varepsilon P(X>\varepsilon )\Rightarrow P(X>\varepsilon )\leqslant {\frac {M(X)}{\varepsilon }}$

Литература

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.223-224.

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.