Интегральное неравенство Коши-Буняковского

Интегральное неравенство Коши-Буняковского

Интегральное неравенство Коши-Буняковского — неравенство, гласящее, что модуль определённого интеграла от произведения двух функций не превышает произведения корней из определённых интегралов от квадратов этих функций.

Формула неравенства

$\left|\int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)dx\right|\leqslant {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}(f(x))^{2}dx}}\cdot {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}(g(x))^{2}dx}}\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(\int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)dx\right)^{2}\leqslant \int \limits _{a}^{b}(f(x))^{2}dx\cdot \int \limits _{a}^{b}(g(x))^{2}dx$

Пример

Применение неравенства для оценки интеграла

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt{1+x^2}dx = \int\limits_0^1 1\cdot\sqrt{1+x^2}dx \le \sqrt{\int\limits_0^1 1^2dx} \cdot \sqrt{\int\limits_0^1 \left(\sqrt{1+x^2}\right)^2dx} \ \Leftrightarrow}

$\Leftrightarrow \left.{\sqrt {x}}\right|_{0}^{1}\cdot {\sqrt {\int \limits _{0}^{1}\left(1+x^{2}\right)dx}}={\sqrt {1}}\cdot \left.{\sqrt {x+{\frac {x^{3}}{3}}}}\right|_{0}^{1}={\sqrt {1+{\frac {1^{3}}{3}}}}={\sqrt {\frac {4}{3}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$

$\Rightarrow \int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{2}}}dx\leq {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: 1964.