Интегральное неравенство Коши-Буняковского

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
НКБ20.JPG

Интегральное неравенство Коши-Буняковского — неравенство, гласящее, что модуль определённого интеграла от произведения двух функций не превышает произведения корней из определённых интегралов от квадратов этих функций.

Формула неравенства[править]

[math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f(x)\cdot g(x)dx\right| \leqslant \sqrt{\int\limits_a^b (f(x))^2dx} \cdot \sqrt{\int\limits_a^b (g(x))^2dx} \iff }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\int\limits_a^b f(x)\cdot g(x)dx\right)^2 \leqslant \int\limits_a^b (f(x))^2dx \cdot \int\limits_a^b (g(x))^2dx }[/math]

Пример[править]

Применение неравенства для оценки интеграла

[math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 \sqrt{1+x^2}dx = \int\limits_0^1 1\cdot\sqrt{1+x^2}dx \le \sqrt{\int\limits_0^1 1^2dx} \cdot \sqrt{\int\limits_0^1 \left(\sqrt{1+x^2}\right)^2dx} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\sqrt{x}\right|_0^1 \cdot \sqrt{\int\limits_0^1 \left(1+x^2\right)dx} = \sqrt{1}\cdot\left.\sqrt{x+\frac{x^3}{3}}\right|_0^1=\sqrt{1+\frac{1^3}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 \sqrt{1+x^2}dx \le \frac{2\sqrt{3}}{3} }[/math]

Другие неравенства:[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: 1964.