Неравенство Фань Цзы

Неравенство Фань Цзы

Неравенство Фань Цзы — неравенство для действительных чисел, гласящее, что отношение произведения n положительных дробей, не превышающих 0,5, к n-степени их суммы не больше аналогичного отношения для дополнений этих дробей до единицы.

Обозначения

n — число дробей;

$a_{i}$ — i-ая положительная дробь от 0 до 0,5;

$1-a_{i}$ — это дополнение $a_{i}$ до 1 — положительная дробь от 0,5 до 1.

Формула неравенства

${\frac {a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\right)^{n}}}\leq {\frac {\left(1-a_{1}\right)\cdot \left(1-a_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-a_{n}\right)}{\left[\left(1-a_{1}\right)+\left(1-a_{2}\right)+\ldots +\left(1-a_{n}\right)\right]^{n}}}\Leftrightarrow {\frac {\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{n}}}\leq {\frac {\prod \limits _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\right)}{\left[\sum \limits _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\right)\right]^{n}}}$

• Равенство имеет место только в том случае, когда все a _i равны между собой.

Доказательство

Метод математической индукции для неравенства Фань Цзы

Следствие

Сумма обратных отношений двух положительных дробей, не превышающих 0,5, не меньше суммы обратных отношений для дополнений этих дробей до единицы.

${\frac {a_{1}}{a_{2}}}+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\geq {\frac {1-a_{1}}{1-a_{2}}}+{\frac {1-a_{2}}{1-a_{1}}}$

Доказательство следствия

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.15.

Ссылки

• Участник:Logic-samara