Неравенство Юнга

Неравенство Юнга для строго возрастающей от нуля f(x)

Неравенство Юнга — неравенство, гласящее, что для непрерывной строго возрастающей от нуля функции сумма интегралов от взаимно обратных функций от нуля до пределов интегрирования не меньше произведения этих пределов интегрирования.

Геометрический смысл:

1)сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции (в пределах интегрирования) и под графиком обратной функции (в пределах интегрирования) не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования;

2)сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции и слева от графика этой функции не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования.

Обозначения

a, b — пределы интегрирования;

f(x) — строго возрастающая от нуля функция, 0≤x≤a, f(0)=0;

f⁻¹(x) — функция обратная к f(x), 0≤x≤b.

Формула неравенства

• Равенство достигается только при b=f(a).

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В. И. Левина, Изд.2, 2007, стр.27.

Ссылки

• Участник:Logic-samara