Обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей

Обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей — неравенство, гласящее, что произведение суммы взвешенных попарных произведений для одномонотонных последовательностей и суммы весов не меньше произведения взвешенных сумм этих последовательностей.

Обозначения[править]

n

– число элементов последовательности,

n>1

;

a_{i}

–

i

-ое число первой последовательности;

b_{i}

–

i

-ое число второй последовательности;

w_{i}

–

i

-ый вес элементов последовательности,

w_{i}>0

;

w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}

— сумма весов.

Определения[править]

Две конечные последовательности действительных чисел $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ одномонотонны, если $\forall i,j\in N_{n},a_{i}>a_{j}\Rightarrow b_{i}\geq b_{j}$ .

Две конечные последовательности действительных чисел $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ разномонотонны, если $\forall i,j\in N_{n},a_{i}>a_{j}\Rightarrow b_{i}\leq b_{j}$ .

Формула неравенства[править]

При $w_{i}=1\ \forall i\in N_{n}$ и делении неравенства на $n^{2}$ обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей становится неравенством Чебышёва для одномонотонных последовательностей.
При $w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}=1$ обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей становится весовым неравенством Чебышёва для одномонотонных последовательностей.