Неравенство средневзвешенных

Неравенство средневзвешенных

Неравенство средневзвешенных — неравенство, гласящее, что средневзвешенная сумма не меньше средневзвешенного произведения.

Обозначения

n — число положительных чисел;

a_i — i-ое положительное число;

p_i — i-ый удельный вес, 0<p_i<1;

p₁+p₂+…+p_k=1 — сумма весов для чисел неравенства равна 1.

Формула неравенства

• При p_i=1/n для всех i получаем неравенство Коши.

Доказательство

Метод математической индукции для неравенства средневзвешенных

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В. И. Левина, Изд.2, 2007, стр.26, с.280.

Ссылки

• Участник:Logic-samara