Неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел

Неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел

Неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел — неравенство для натуральных чисел, гласящее, что сумма обратных квадратов n натуральных чисел меньше двух.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>1;

i – натуральное число;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{i^2}} – обратный квадрат i.

Формула неравенства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2\Leftrightarrow\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2}<2}

Доказательство

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall i\in N_n,i+1>i\Rightarrow\forall i\in N_n,(i+1)^2>i(i+1)\Rightarrow\forall i\in N_{n-1},\frac{1}{(i+1)^2}<\frac{1}{i(i+1)}\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{(i+1)^2}<\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i(i+1)}\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i^2}=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{(i+1)^2}<1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i(i+1)}=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2}<2} .

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.19,74, 168 с.