Неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел

Неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел

Неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел — неравенство для натуральных чисел, гласящее, что сумма обратных квадратов n натуральных чисел меньше двух.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>1;

i – натуральное число;

${\frac {1}{i^{2}}}$ – обратный квадрат i.

Формула неравенства

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}<2\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}<2$

Доказательство

$\forall i\in N_{n},i+1>i\Rightarrow \forall i\in N_{n},(i+1)^{2}>i(i+1)\Rightarrow \forall i\in N_{n-1},{\frac {1}{(i+1)^{2}}}<{\frac {1}{i(i+1)}}\Rightarrow \sum \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{(i+1)^{2}}}<\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{i(i+1)}}\Rightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}=1+\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{(i+1)^{2}}}<1+\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{i(i+1)}}=$

$=1+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}\right)=1+1-{\frac {1}{n}}=2-{\frac {1}{n}}<2\Rightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}<2$ .

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.19,74, 168 с.