Неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам

Неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам

Неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам — неравенство для натуральных чисел, гласящее, что произведение отношений нечётных к чётным n натуральным числам меньше обратного корня из 2n+1.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>1;

i – натуральное число;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{2i-1}{2i}} – отношение нечётного (2i-1) к чётному (2i) для натуральных чисел.

Формула неравенства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}\text{·}\frac{3}{4}\text{·}\ldots\text{·}\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\Leftrightarrow\frac{(2i-1)\text{!!}}{(2i)\text{!!}}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\Leftrightarrow\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\Leftrightarrow\frac{\prod\limits_{i=1}^n(2i-1)}{\prod\limits_{i=1}^n(2i)}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}

Доказательство

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall i\in N_n,2i<2i+1\Rightarrow\forall i\in N_n,\frac{1}{2i}>\frac{1}{2i+1}\Rightarrow\forall i\in N_n,1-\frac{1}{2i}<1-\frac{1}{2i+1}\Rightarrow\forall i\in N_n,\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}<1-\frac{1}{2i+1}=\frac{2i}{2i+1}\Rightarrow\forall i\in N_n,\frac{2i-1}{2i}<\frac{2i}{2i+1}\Rightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}<\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i}{2i+1}\Rightarrow\left(\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}\right)^2<\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}\text{·}\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i}{2i+1}=\frac{1}{2n+1}\Rightarrow\left(\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}\right)^2<\frac{1}{2n+1}\Rightarrow\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}} .

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.19,74-75, 168 с.