Неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам

Неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам

Неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам — неравенство для натуральных чисел, гласящее, что произведение отношений нечётных к чётным n натуральным числам меньше обратного корня из 2n+1.

Обозначения

n – число натуральных чисел, n>1;

i – натуральное число;

${\frac {2i-1}{2i}}$ – отношение нечётного (2i-1) к чётному (2i) для натуральных чисел.

Формула неравенства

${\frac {1}{2}}{\text{·}}{\frac {3}{4}}{\text{·}}\ldots {\text{·}}{\frac {2n-1}{2n}}<{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}\Leftrightarrow {\frac {(2i-1){\text{!!}}}{(2i){\text{!!}}}}<{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}\Leftrightarrow \prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{2i}}<{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}\Leftrightarrow {\frac {\prod \limits _{i=1}^{n}(2i-1)}{\prod \limits _{i=1}^{n}(2i)}}<{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}$

Доказательство

$\forall i\in N_{n},2i<2i+1\Rightarrow \forall i\in N_{n},{\frac {1}{2i}}>{\frac {1}{2i+1}}\Rightarrow \forall i\in N_{n},1-{\frac {1}{2i}}<1-{\frac {1}{2i+1}}\Rightarrow \forall i\in N_{n},{\frac {2i-1}{2i}}=1-{\frac {1}{2i}}<1-{\frac {1}{2i+1}}={\frac {2i}{2i+1}}\Rightarrow \forall i\in N_{n},{\frac {2i-1}{2i}}<{\frac {2i}{2i+1}}\Rightarrow$

$\Rightarrow \prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{2i}}<\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i}{2i+1}}\Rightarrow \left(\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{2i}}\right)^{2}<\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{2i}}{\text{·}}\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i}{2i+1}}={\frac {1}{2n+1}}\Rightarrow \left(\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{2i}}\right)^{2}<{\frac {1}{2n+1}}\Rightarrow \prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{2i}}<{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}$ .

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и среднего арифметического;
3. неравенство n-факториала и среднего квадратического;
4. неравенство n-факториала и среднего кубического;
5. неравенство n-факториала и n-степени двух;
6. неравенство r-степени числа;
7. неравенство Бернулли;
8. неравенство произведения n факториалов чётных чисел;
9. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
10. неравенство произведения отношений нечётных к чётным натуральным числам;
11. неравенство произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
12. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
13. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
14. неравенство суммы n-степеней единицы без дроби и единицы с дробью;
15. неравенство суммы обратных квадратов n натуральных чисел;
16. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
17. неравенство суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
18. неравенство суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
19. неравенство трёх квадратов;
20. неравенство трёх кубов;
21. неравенство трёх попарных отношений;
22. неравенство факториала нечётного числа;
23. неравенство факториала чётного числа;
24. обобщённое неравенство Бернулли;
25. неравенство Маркова;
26. неравенство Чебышёва.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.19,74-75, 168 с.