Неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей

Неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей

Неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей — неравенство для положительных дробей с суммой $1$, гласящее, что произведение превышений обратных квадратов дробей над единицей не меньше $n$ -степени превышения квадрата $n$ над единицей.

Обозначения

n – число дробей, n>1;

x_i – i-ая положительная дробь, 0<x_i<1;

x₁+ x₁+…+ x_n – сумма дробей равна 1;

${\frac {1}{x_{i}^{2}}}-1$ — это превышение обратного квадрата $i$-ой дроби над $1$;

$n^{2}-1$ — это превышение квадрата $n$ над $1$.

Формула неравенства

Определения

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|>|a_{2}-b_{2}|$, то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется сдвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением суммы.

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|<|a_{2}-b_{2}|$, то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется раздвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением суммы.

Доказательство

Метод Штурма для неравенства произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.63-64, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara