Неравенство Гёльдера

Неравенство Гёльдера

Неравенство Гёльдера — неравенство, гласящее, что модуль суммы произведений пар из двух наборов чисел не больше произведения 1/p-степени суммы p-степеней модулей первых элементов пар и (p − 1)/p-степени суммы p/(1 − p)-степеней модулей вторых элементов пар.

Обозначения

n — число чисел в наборах;

p — число больше 1;

$a_{i}$ — i-ое число;

$b_{i}$ — i-ое число.

Формула неравенства

$|a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}|\leq \left(|a_{1}|^{p}+\ldots +|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(|b_{1}|^{\frac {p}{p-1}}+\ldots +|b_{n}|^{\frac {p}{p-1}}\right)^{\frac {p-1}{p}}\Leftrightarrow \left|\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|b_{i}|^{\frac {p}{p-1}}\right)^{\frac {p-1}{p}}$

• Заметим, что при p = 2 получаем неравенство Коши-Буняковского.

Следствие

$|a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}|^{p}\leq \left(|a_{1}|^{p}+\ldots +|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(|b_{1}|^{\frac {p}{p-1}}+\ldots +|b_{n}|^{\frac {p}{p-1}}\right)^{p-1}\Leftrightarrow \left|\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{p}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|b_{i}|^{\frac {p}{p-1}}\right)^{p-1}$

См. также

• Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.