Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}$ и (положительные) действительные числа $1<p<+\infty ,$ и $q$ , определяемое равенством ${1 \over p}+{1 \over q}=1.$ Тогда справедливы неравенства:

$\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid \leq \left(\sum _{i=1}^{n}{\mid x_{i}\mid }^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}{\mid y_{i}\mid }^{q}\right)^{1/q}$

(Неравенство Гёльдера) и

$\left(\sum _{i=1}^{n}{\mid x_{i}+y_{i}\mid }^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{\mid x_{i}\mid }^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}\ {\mid y_{i}\mid }^{p}\right)^{1/p}$

(Неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств Гёльдера и Минковского.

Введём для краткости обозначения:

$\lVert x\rVert _{p}=^{\!\!\!\!\!\!def}\left(\sum _{i=1}^{n}{\mid x_{i}\mid }^{p}\right)^{1/p},\ \ \lVert y\rVert _{q}=^{\!\!\!\!\!\!def}\left(\sum _{i=1}^{n}{\mid y_{i}\mid }^{q}\right)^{1/q}\ \ (*)$

Применив неравенство $ab\leq {a^{p} \over p}+{b^{q} \over q},\ \ a\geq 0,\ \ b\geq 0$ к

$a={\mid x_{i}\mid \over \lVert x\rVert _{p}},\ \ b={\mid y_{i}\mid \over \lVert y\rVert _{q}},\ \ i=1,2,\ldots ,n,\ {\text{имеем}}{\mid x_{i}\mid \over \lVert x\rVert _{p}}\ {\mid y_{i}\mid \over \lVert y\rVert _{q}}\leq {1 \over p}{\mid x_{i}\mid ^{p} \over \lVert x\rVert _{p}^{p}}+{1 \over q}{\mid y_{i}\mid ^{q} \over \lVert y\rVert _{q}^{q}}.$

Просуммировав эти неравенства по i от 1 до n в силу (*) и условия ${1 \over p}+{1 \over q}=1$ получим

${1 \over \lVert x\rVert _{p}\lVert y\rVert _{q}}\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid \leq {1 \over p\lVert x\rVert _{p}^{p}}\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid ^{p}+{1 \over q\lVert y\rVert _{q}^{q}}\sum _{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid ^{q}\ =\ {1 \over p}+{1 \over q}=1,$

откуда

$\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid \leq \lVert x\rVert _{p}\lVert y\rVert _{q};$

тем самым неравенство Гёльдера доказано.

Неравенство Минковского следует из неравенства Гёльдера из очевидного соотношения

$\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{i}\mid ^{p}\leq \sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid \mid x_{i}+y_{i}\mid ^{p-1}\ +\ \sum _{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid \mid x_{i}+y_{i}\mid ^{p-1},$

применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гёльдера, получим

$\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{i}\mid ^{p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid ^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{i}\mid ^{q(p-1)}\right)^{1/q}\ +\ \left(\sum _{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid ^{p}\right)^{1/p}\ \left(\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{i}\mid ^{q(p-1)}\right)^{1/q}.$

Если левая часть неравенства равна нулю, то неравенство Минковского, очевидно, справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая обе части неравенства на множитель $\left(\sum _{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{i}\mid ^{p}\right)^{1/q}$ и заметив, что ${1 \over p}+{1 \over q}=1,\ q(p-1)=p,$ получим неравенство Минковского.

Для любых двух рядов $\sum _{n=1}^{\infty }\ x_{n},\sum _{n=1}^{\infty }\ y_{n}$ справедливы аналогичные неравенства

$\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}y_{n}\mid \leq \left(\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}\mid ^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mid y_{n}\mid ^{q}\right)^{1/q}\ \ \ (1)\ ,$

$\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}+y_{n}\mid ^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}\mid ^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mid y_{n}\mid ^{p}\right)^{1/p}\ \ \ (2)\ .$

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского. Переходя в них к пределу при $n\rightarrow \infty ,$ мы и получим неравенства (1) и (2).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды $\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}\mid ^{p},\ \sum _{n=1}^{\infty }\mid y_{n}\mid ^{q}$ сходятся, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}y_{n}\mid$ сходится, а если сходятся ряды $\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}\mid ^{p},\ \sum _{n=1}^{\infty }\mid y_{n}\mid ^{p},$ то сходится ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\mid x_{n}+y_{n}\mid ^{p}.$