Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) и (положительные) действительные числа и , определяемое равенством Тогда справедливы неравенства:

(Неравенство Гёльдера) и

(Неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств Гёльдера и Минковского.

Введём для краткости обозначения:

Применив неравенство к

Просуммировав эти неравенства по i от 1 до n в силу (*) и условия получим

откуда

тем самым неравенство Гёльдера доказано.

Неравенство Минковского следует из неравенства Гёльдера из очевидного соотношения

применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гёльдера, получим

Если левая часть неравенства равна нулю, то неравенство Минковского, очевидно, справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая обе части неравенства на множитель и заметив, что получим неравенство Минковского.

Для любых двух рядов справедливы аналогичные неравенства

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского. Переходя в них к пределу при мы и получим неравенства (1) и (2).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды сходятся, то ряд сходится, а если сходятся ряды то сходится ряд

См. также[править]