Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского — теорема, гласящая, что сумма попарных произведений n действительных чисел с другими n действительными числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел. Имеет геометрическую интерпретацию, что скалярное произведение двух векторов в n-мерном евклидовом пространстве не превышает (по модулю) произведения длин этих векторов.

Обозначения

n — количество чисел;

$a_{i}$ — i-ое число;

$b_{i}$ — i-ое число.

Формула неравенства

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\leqslant {\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$

• Если множества чисел $\{a_{i}\}$ и $\{b_{i}\}$ считать векторами n-мерного пространства, то неравенство Коши-Буняковского означает, что скалярное произведение векторов не более произведения их длин (модулей, норм).

Следствие

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}\leqslant (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\Leftrightarrow \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leqslant \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

Другие неравенства:

• неравенство Коши;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.