Транснеравенство одномонотонных последовательностей

Транснеравенство одномонотонных последовательностей

Транснеравенство одномонотонных последовательностей — неравенство, гласящее, что сумма упорядоченных попарных произведений для одномонотонных последовательностей не меньше суммы попарных произведений элементов одной последовательности с элементами переупорядоченной (с трансформированным порядком элементов) другой последовательности.

Обозначения

$n$ – число элементов последовательности ;

$a_{i}$ – i-ое число первой последовательности;

$b_{i}$ – i-ое число второй последовательности;

$j_{i}$ – i-ый индекс перестановки n индексов;

$\{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}\}$ – перестановка n индексов;

$\{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n+1}\}$ – перестановка (n+1) индексов;

$P_{n}$ – множество перестановок n индексов;

$P_{n+1}$ – множество перестановок (n+1) индексов.

Определения

Две конечные последовательности действительных чисел $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ одномонотонны, если $\forall i,j\in N_{n},a_{i}>a_{j}\Rightarrow b_{i}\geq b_{j}$ .

Две конечные последовательности действительных чисел $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ и $\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ разномонотонны, если $\forall i,j\in N_{n},a_{i}>a_{j}\Rightarrow b_{i}\leq b_{j}$ .

Формула неравенства

Доказательство

Метод математической индукции для транснеравенства одномонотонных последовательностей.

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.52-54, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara