Неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей

Неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей

Неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей — неравенство для двух последовательностей положительных чисел, гласящее, что произведение суммы произведений и суммы отношений n пар чисел не меньше квадрата суммы чисел первой последовательности.

Обозначения

$n$ – число положительных чисел в последовательности, n>1;

$a_{i}$ – i-ое положительное число первой последовательности;

$b_{i}$ – i-ое положительное число второй последовательности;

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}$ – сумма произведений чисел первой и второй последовательностей;

${\frac {a_{1}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ – сумма отношений чисел первой и второй последовательностей;

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ – сумма чисел первой последовательности.

Формула неравенства

Доказательство

Доказательство 1

Доказательство неравенством Коши-Буняковского неравенства чисел двух последовательностей

Доказательство 2

Доказательство неравенством чисел трёх последовательностей неравенства чисел двух последовательностей

Другие неравенства:

1. неравенство средневзвешенных;
2. обобщённое неравенство средних;
3. неравенство четырёх средних;
4. неравенство p-ичных средних;
5. неравенство взвешенных p-ичных средних;
6. неравенство Гёльдера;
7. обобщённое неравенство Гёльдера;
8. неравенство Гюйгенса;
9. неравенство Йенсена;
10. неравенство Коробова;
11. неравенство Коши;
12. неравенство Коши-Буняковского;
13. неравенство Минковского;
14. обобщённое неравенство Минковского;
15. неравенство произведения единиц с дробями;
16. неравенство произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
17. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
18. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
19. неравенство произведения единицы со степенью числа и степени единицы с числом;
20. неравенство произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
21. неравенство произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
22. неравенство произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
23. неравенство произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
24. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел двух последовательностей;
25. неравенство произведения суммы произведений и суммы отношений чисел трёх последовательностей;
26. неравенство суммы квадратов дробей с единичной суммой;
27. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
28. неравенство суммы кубов возрастающих чисел;
29. неравенство суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
30. неравенство суммы обратных единиц с числом;
31. неравенство суммы обратных чисел;
32. неравенство суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
33. неравенство суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
34. неравенство треугольника в n-мерном пространстве;
35. неравенство Фань Цзы;
36. неравенство Юнга;
37. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
38. интегральное неравенство Минковского;
39. интегральное неравенство Гёльдера;
40. неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
41. неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
42. весовое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
43. весовое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
44. обобщённое неравенство Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
45. обобщённое неравенство Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
46. транснеравенство одномонотонных последовательностей;
47. транснеравенство разномонотонных последовательностей;
48. транснеравенство суммы квадратов чисел.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.29, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara