Доказательство неравенством Коши неравенства факториала нечётного числа

Доказательство неравенством Коши неравенства факториала нечётного числа использует неравенство Коши.

Обозначения

2n-1 – нечётное натуральное число, n>1;

(2n-1)! – факториал нечётного натурального числа 2n-1;

x_i – неотрицательное число.

Формула неравенства

$(2n-1){\text{!}}<n^{2n-1}\Leftrightarrow (2n-1){\text{!}}<\left({\frac {1+2+\ldots +2n-1}{2n-1}}\right)^{2n-1}\Leftrightarrow (2n-1){\text{!}}<\left({\frac {1}{2n-1}}\sum \limits _{i=1}^{2n-1}i\right)^{2n-1}$

Доказательство

Возьмём неравенство Коши.

Учтём из доказательства неравенства Коши методом Штурма, что для неравных x_i неравенство выполняется как строгое.

Полагая, что x_i=i, i=1,2n-1, получаем.

ч.т.д.

Эквивалентные формулы получаем, учитывая формулу суммы n натуральных чисел для нечётного числа 2n-1.

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
24. ММИ для неравенства произведения n факториалов чётных чисел;
25. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
26. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
27. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
28. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.80-81, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara