Доказательство неравенства Маркова для дискретной случайной величины

Доказательство неравенства Маркова для дискретной случайной величины.

Обозначения

X — дискретная положительная случайная величина;

M(X) — математическое ожидание положительной случайной величины X;

ε — положительное число большее чем M(X).

Формула неравенства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(X>\varepsilon)\leqslant\frac{M(X)}{\varepsilon}}

Доказательство

Пусть для дискретной положительной случайной величины X, представленной в упорядоченном виде, выполняются неравенства:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant\ldots\leqslant x_k\leqslant\varepsilon<x_{k+1}\leqslant x_{k+2}\leqslant\ldots\leqslant x_n}

Тогда отсюда следует:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M(X)={\sum\limits_{i=1}^n x_i p_i}\geqslant{\sum\limits_{i=k+1}^n x_i p_i}\geqslant {\sum\limits_{i=k+1}^n\varepsilon p_i}=\varepsilon{\sum\limits_{i=k+1}^n p_i}=\varepsilon P(X>\varepsilon)\Rightarrow M(X)\geqslant\varepsilon P(X>\varepsilon)\Rightarrow P(X>\varepsilon)\leqslant\frac{M(X)}{\varepsilon}} , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
24. ММИ для неравенства произведения n факториалов чётных чисел;
25. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
26. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
27. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
28. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.223-224.