Доказательство неравенства трёх попарных отношений

Доказательство неравенства трёх попарных отношений.

Обозначения

$a,b,c$ – положительные числа;

${\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}},{\frac {c}{a}}$ – попарные отношения положительных чисел.

Формула неравенства

${\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\geq 3$

Доказательство

Применим неравенство Коши для трёх чисел $x_{1}={\frac {a}{b}},x_{2}={\frac {b}{c}},x_{3}={\frac {c}{a}}$ .

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{x_{1}x_{2}x_{3}}}\Rightarrow {\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq {\sqrt[{3}]{{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}}}={\sqrt[{3}]{1}}=1\Rightarrow {\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 1\Rightarrow {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\geq 3$ .

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство степеней n и n+1;
5. неравенство трёх квадратов;
6. неравенство трёх кубов;
7. неравенство трёх попарных отношений;
8. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
9. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
10. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
11. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
12. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
13. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
14. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
15. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
16. ММИ для неравенства Бернулли;
17. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
18. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
19. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.77, 168 с.