Доказательство неравенства трёх попарных отношений

Доказательство неравенства трёх попарных отношений.

Обозначения

$a,b,c$ – положительные числа;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}} – попарные отношения положительных чисел.

Формула неравенства

${\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\geq 3$

Доказательство

Применим неравенство Коши для трёх чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1=\frac{a}{b},x_2=\frac{b}{c},x_3=\frac{c}{a}} .

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{x_{1}x_{2}x_{3}}}\Rightarrow {\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq {\sqrt[{3}]{{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}}}={\sqrt[{3}]{1}}=1\Rightarrow {\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 1\Rightarrow {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\geq 3$ .

Другие доказательства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство n-факториала и n-степени двух;
3. неравенство r-степени числа;
4. неравенство Маркова для дискретной случайной величины;
5. неравенство Маркова для непрерывной случайной величины;
6. неравенство степеней n и n+1 для чисел;
7. неравенство степеней n и n+1 для единиц с обратными числами;
8. неравенство трёх квадратов;
9. неравенство трёх кубов;
10. неравенство трёх попарных отношений;
11. неравенство Чебышёва для дискретной случайной величины;
12. неравенство Чебышёва для непрерывной случайной величины;
13. неравенство n-степени числа для неравенства Бернулли;
14. неравенство r-степени числа для обобщённого неравенства Бернулли;
15. неравенство Бернулли для неравенства n-степени числа;
16. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего арифметического;
17. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего квадратического;
18. неравенство Коши для неравенства n-факториала и среднего кубического;
19. неравенство Коши для неравенства факториала нечётного числа;
20. обобщённое неравенство Бернулли для неравенства r-степени числа;
21. ММИ для неравенства n-факториала и n-степени двух;
22. ММИ для неравенства Бернулли;
23. ММИ для неравенства произведения n-факториала и двойного факториала нечётного числа;
24. ММИ для неравенства произведения n факториалов чётных чисел;
25. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком больше;
26. ММИ для неравенства суммы обратных корней n натуральных чисел со знаком меньше;
27. ММИ для неравенства суммы обратных n натуральных чисел, начиная с числа n+1;
28. ММИ для неравенства факториала чётного числа.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.77, 168 с.