Доказательство транснеравенством неравенства суммы отношений чисел к сумме остальных чисел

Доказательство транснеравенством неравенства суммы отношений чисел к сумме остальных чисел использует транснеравенство для одномонотонных последовательностей.

Обозначения

n – число положительных чисел, n>1;

a_i – i-ое положительное число;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a_i}{S - a_i}} – это отношение i-го числа к сумме остальных чисел;

j_i – i-ый индекс перестановки n индексов;

j_ki – i-ый индекс k-ой циклической перестановки n индексов;

{j₁, j₂, …, j_n} – перестановка n индексов;

{j_k1, j_k2, …, j_kn} – k-ая циклическая перестановка n индексов;

P_n – множество перестановок n индексов;

– матрица индексов циклических перестановок.

Формула неравенства

Доказательство

Рассмотрим две конечные последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{ \frac{1}{S-a_1}, \frac{1}{S-a_2}, \ldots, \frac{1}{S-a_n} \right\}} . Они одномонотонны. Применим к ним транснеравенство одномонотонных последовательностей.

т.е. неравенство верно, ч.т.д.

Другие доказательства:

1. весовое неравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
2. весовое неравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
3. неравенство произведения единиц с отношениями квадратов чисел к соседним;
4. неравенство произведения единиц с произведениями соседних чисел;
5. неравенство суммы квадратов убывающих дробей;
6. неравенство четырёх средних;
7. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы обратных единиц с числом;
8. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы обратных чисел;
9. неравенство p-ичных средних для неравенства суммы отношений дробей к корню из их дополнений до единицы;
10. неравенство Йенсена для неравенства Коши;
11. неравенство Коши для неравенства произведения отношений чисел к квадратам накопительных сумм единицы и этих чисел;
12. неравенство Коши-Буняковского для неравенства треугольника в n-мерном пространстве;
13. неравенство Коши-Буняковского для неравенства чисел двух последовательностей;
14. неравенство Коши-Буняковского для неравенства чисел трёх последовательностей;
15. неравенство Коши-Буняковского для транснеравенства суммы квадратов чисел;
16. неравенство средневзвешенных для неравенства Коши;
17. неравенство Чебышёва для неравенства произведения суммы косинусов и суммы тангенсов;
18. неравенство чисел трёх последовательностей для неравенства чисел двух последовательностей;
19. обобщённое неравенство для весового неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
20. обобщённое неравенство для весового неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
21. обобщённое неравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
22. обобщённое неравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
23. транснеравенство для неравенства суммы отношений чисел к сумме остальных чисел;
24. транснеравенство для неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
25. транснеравенство для неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
26. транснеравенство для транснеравенства суммы квадратов чисел;
27. доказательство Бора неравенства Коши;
28. ММИ для неравенства Гюйгенса;
29. ММИ для неравенства Коробова;
30. ММИ для неравенства Коши;
31. ММИ для неравенства Коши-Буняковского;
32. ММИ для неравенства произведения единиц с дробями;
33. ММИ для неравенства средневзвешенных;
34. ММИ для неравенства суммы кубов возрастающих чисел;
35. ММИ для неравенства Фань Цзы;
36. ММИ для обобщённого неравенства Чебышёва для одномонотонных последовательностей;
37. ММИ для обобщённого неравенства Чебышёва для разномонотонных последовательностей;
38. ММИ для транснеравенства одномонотонных последовательностей;
39. ММИ для транснеравенства разномонотонных последовательностей;
40. ММИ Якобсталя для неравенства Коши;
41. МШ для неравенства произведения единиц с обратными дробями с единичной суммой;
42. МШ для неравенства суммы обратных единиц с дробями;
43. МШ для неравенства суммы обратных единиц с дробями с единичной суммой;
44. МШ для неравенства суммы обратных единиц с числом;
45. МШ для неравенства произведения превышений обратных квадратов дробей над единицей;
46. МШ для неравенства произведения отношений единицы с дробью к единице без дроби;
47. МШ для неравенства суммы квадратов дробей с единичной суммой;
48. МШ для неравенства Гюйгенса;
49. МШ для неравенства Коши.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.130-131, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara