Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 4

Математическая модель ОТЗПП4

Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 4 — открытая транспортная задача оптимизации перевозок с использованием промежуточных (транзитных) пунктов с избытком потребностей в грузах у транзитных пунктов.

Обозначения

n — число конечных пунктов (поставщиков и потребителей);

np — число поставщиков;

n-np — число потребителей;

m — число промежуточных пунктов (складов);

mp — число складов с дополнительными (внутренними) потребностями;

m-mp — число складов с излишками продукции или нулевыми остатками;

b_j>0, j=1,np — объём поставок продукции поставщиков;

b_j<0, j=np+1,n — объём потребностей (в продукции) потребителей;

a_i>0, i=1,mp — дополнительные (внутренние) потребности продукции (на складе);

a_i≤0, i=mp+1,m — излишки продукции или нулевые остатки (на складе);

c_ij>0, i=1,m, j=1,np — транспортные тарифы на перевозку единицы продукции от поставщика на склад;

c_ij<0, i=1,m, j=np+1,n — транспортные тарифы на перевозку единицы продукции со склада к потребителю;

x_ij≥0, i=1,m, j=1,np — объём перевозок продукции от поставщика на склад;

x_ij≤0, i=1,m, j=np+1,n — объём перевозок продукции со склада к потребителю.

Математическая модель

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L(X) = \sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n c_{ij}x_{ij} \rightarrow \min}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases}\sum\limits_{j=1}^n x_{ij}\le a_i, \ \forall i\in N_{mp} \\ \sum\limits_{j=1}^n x_{mp+ij}=a_{mp+i}, \ \forall i\in N_{m-mp} \\ \sum\limits_{i=1}^m x_{ij}= b_j, \ \forall j\in N_n \\ x_{ij} \ge 0, \forall (i,j)\in N_m\times N_{np} \\ x_{inp+j} \le 0, \forall (i,j)\in N_m\times N_{n-np} \end{cases}} .

• Заметим, что в системе ограничений открытой задачи должно быть хотя бы одно строгое неравенство.

Условия разрешимости

Для разрешимости открытой задачи необходимо выполнение условий:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{i=1}^m a_i > \sum\limits_{j=1}^n b_j} .

Введём дополнительные обозначения:

b_n+1>0 — объём поставок продукции фиктивного поставщика;

c_in+1≥0, i=1,m — транспортные тарифы на перевозку единицы продукции от фиктивного поставщика на склад;

x_in+1≥0, i=1,m — объём перевозок продукции от фиктивного поставщика на склад.

Пусть M — это достаточно большое положительное число.

Для построения вспомогательной эквивалентной закрытой задачи введём фиктивного поставщика с параметрами:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{n+1}=\sum\limits_{i=1}^m a_i-\sum\limits_{j=1}^n b_j } ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_{in+1}=0, \forall i \in N_{mp}} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_{mp+in+1}=M, \forall i \in N_{m-mp}} ,

Вспомогательная задача

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L^*(X) = \sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^{n+1} c_{ij}x_{ij} \rightarrow \min}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases}\sum\limits_{j=1}^{n+1} x_{ij}=a_i, \ \forall i\in N_m \\ \sum\limits_{i=1}^m x_{ij}=b_j, \ \forall j\in N_{n+1} \\ x_{ij} \ge 0, \forall (i,j)\in N_m\times (N_{np}\cup \{n+1\}) \\ x_{inp+j} \le 0, \forall (i,j)\in N_m\times N_{n-np} \end{cases}} ,

Решение вспомогательной задачи

Очевидно, что вспомогательная задача является закрытой транспортной задачей с промежуточными пунктами, которая разрешима по построению. Для определения начального решения используется метод северо-западного угла, а для решения применяется метод потенциалов. Очевидно, что M-множители и метод потенциалов приводят к нулевым соответствующим (от фиктивного поставщика на склады с излишками продукции) перевозкам в оптимальном решении. В оптимальном решении вспомогательной задачи все перевозки через конечные (без фиктивного поставщика) и промежуточные пункты являются оптимальным решением исходной задачи. А перевозки от фиктивного поставщика являются не удовлетворёнными внутренними потребностями складов.

Другие задачи

1. Транспортная задача;
2. Распределительная задача;
3. Задача о назначениях;
4. Транспортная задача с промежуточными пунктами;
5. Транспортная задача с промежуточными пунктами с запретами;
6. Транспортная задача с промежуточными пунктами и ограничением по транзиту;
7. Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами;
8. Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 1;
9. Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 2;
10. Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 3;
11. Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 4;
12. Трёхиндексная транспортная задача;
13. Трёхиндексная транспортная задача с аксиальными суммами;
14. Трёхиндексная транспортная задача с промежуточными пунктами.

Литература

• Кривопалов В. Ю., Решение открытой транспортной задачи с промежуточными пунктами. Сборник научных трудов конференции ПИТ-2015, СГАУ, Т.2, стр.86-91

Ссылки

• http://www.ssau.ru/files/events/2015/pit_2015_2.pdf стр.86-91.