Планковская длина в работах Александра Павловича Климца

Планковская длина в работах Александра Павловича Климца — интерпретация Планковской длины Александром Павловичем Климцом.

Общая информация

Планковская длина (обозначаемая $\ell _{P}\$) — фундаментальная единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6·10⁻³⁵ метров.

Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная постоянная.

Планковская длина равна:

$\ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\hbar }}$ ≈ 1,616 229(38)·10⁻³⁵ м

где:

• $\hbar$ — постоянная Дирака ($\hbar =h/2\pi$), где $h$ — постоянная Планка;
• $G$ — гравитационная постоянная;
• $c$ — скорость света в вакууме.

В мысленном эксперименте, предложенном Gia Dvalia и Cesar Gomez в 2010 году, для определения положения объекта на него посылается поток электромагнитного излучения, то есть фотоны. Чем больше энергия фотонов, тем короче их длина волны и тем более точным будет измерение. Авторы предполагают, что если бы фотоны имели энергию, достаточную для измерения объектов размером с планковскую длину, то при взаимодействии с объектом они сколлапсировали бы в микроскопическую чёрную дыру и провести измерение было бы невозможно. По их мнению, это накладывает фундаментальные ограничения на точность измерения длины.

Качественное обоснование коллапса фотонов на планковском масштабе

А. П. Климец считает, что согласно общей теории относительности, любая форма энергии, в том числе энергия фотонов, должна генерировать гравитационное поле. И чем больше эта энергия, тем более мощное гравитационное поле ими генерируется. Он:

• вводит понятие «кинетической энергии фотонов», которую определяет формулой $E_{kin}=P\,c$, где $P$ — импульс фотонов, а $c$ — их скорость.
• считает, что эта энергия является положительной величиной и при свободном движении фотонов ничем не ограничена.
• считает, что полная энергия пучка фотонов включает также и потенциальную энергию взаимодействия фотонов друг с другом и утверждает, что эта энергия является величиной отрицательной.

Начальное рассуждение

Для двух массивных частиц каждая массой $m$ потенциальная энергия взаимодействия зависит лишь от расстояния между ними. Исходя из уравнения тяготения Ньютона потенциальная энергия взаимодействия, при принятии за ноль состояния бесконечного удаления частиц, имеет вид

$E_{pot}=-G\,m^{2}/r$, где

• $G$ — гравитационная постоянная,
• $m$ — масса каждой частицы,
• $r$ — расстояние между частицами.

Для нахождения полной энергии системы из двух тел массой $m$ нужно сложить кинетические энергии обоих тел и добавить сюда их взаимную потенциальную энергию тяготения, что вместе даст постоянную:

$\sum (1/2)m_{i}v_{i}^{2}-Gm^{2}/r_{ij}=const;\,\,\,i=1,2$ (а)

Исходя из, считающейся автором допустимой, аналогии с потенциальной энергией массивных частиц, с учётом того, что у фотонов нет массы, А. П. Климец считает допустимым для двух фотонов в это уравнение вместо массы $m$ подставить величину импульса фотона, делённого на скорость света, то есть $P/c$.

Это даёт ему возможность ввести понятие потенциальной энергии взаимодействия фотонов друг с другом и определить его как

$E_{pot}=G\,P^{2}/c^{2}r$, где

• $r$ необходимо сопоставить с длиной волны фотонов $\lambda$.

Дальнейший ход мыслей А. П. Климца состоит в том, что полная энергия взаимодействующих фотонов равна сумме кинетической (по порядку величины) и потенциальной энергий и имеет вид

$E=E_{kin}+E_{pot}\approx 1/2\left({\frac {2P}{c}}\right)\,c^{2}-{\frac {G\,P^{2}}{c^{2}\,\lambda }}=P\,c\left(1-{\frac {G\,P}{c^{3}\,\lambda }}\right)=P\,c\left(1-{\frac {\lambda _{g}}{\lambda }}\right)$ (здесь не учтён спин фотонов, но это не существенно).

• величина $\lambda _{g}\approx ({G}/{c^{3}})P$ для системы из гравитационно взаимодействующих фотонов является аналогом гравитационного радиуса $r_{g}\approx ({G}/{c^{3}})mc$ для массивной частицы.

Чтобы использовать это уравнение в квантовой теории, он рассматривает величины $P$ и $\lambda$, входящие в него, с помощью соотношения неопределённостей Гейзенберга как неопределённости импульса и координаты. Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории. Согласно соотношению неопределённостей, эти величины связаны друг с другом.

Предполагая, что $P\,\lambda \approx \hbar$, где $\hbar$ — постоянная Дирака и используя это соотношение (подстановкой $P\approx \hbar /\lambda$), А. П. Климец находит из последнего уравнения функцию $E(\lambda )$

$E(\lambda )={\frac {\hbar c}{\lambda }}\left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)$

где $\ell _{P}={\sqrt {\hbar \,G/c^{3}}}$ — фундаментальная планковская длина.

График функции $E(\lambda )$

Построенный на основании этого уравнения график функции $E(\lambda )$ показывает, что по мере уменьшения длины волны фотонов $\lambda$ полная их энергия растёт, так как второе слагаемое в последнем уравнении при малом импульсе фотонов практически равно нулю. Это, по мнению А. П. Климца, позволяет считать, что максимальная полная энергия $E(\lambda )$ оказывается примерно равной планковской энергии $E_{P}$, а длина волны фотонов $\lambda$ — почти сопоставима с планковской длиной.

Однако, если импульс фотонов и далее увеличивать, полная энергия системы из фотонов начнёт уменьшаться за счёт увеличения отрицательной гравитационной составляющей полной энергии, которая до этого момента не играла существенной роли. При длине волны фотонов $\lambda$ равной планковской длине $\ell _{P}\approx 10^{-35}$м полная энергия взаимодействия фотонов друг с другом становится равной нулю, фотоны коллапсируют и превращаются в микроскопическую планковскую чёрную дыру.

Таким образом, когда электромагнитное излучение приобретает планковскую энергию (то есть его длина волны $\lambda$ становится равной планковской длине $\ell _{P}$), электромагнитное излучение коллапсирует. Поэтому использовать его в качестве инструментария для «прощупывания» ультрамалых расстояний уже не представляется возможным. Мы обнаружили предел, границу научных исследований.

Система из двух или нескольких гравитационно взаимодействующих фотонов называется геоном.

Более строгое рассуждение

Если рассуждать более строго, то нужно исходить из уравнения Гамильтона — Якоби

$g^{ik}\partial ^{2}S/\partial x^{i}\partial x^{k}=(m')^{2}\,c^{2}$, с метрическими коэффициентами $g^{ik}$, взятыми из решения Шварцшильда, где

• $S$ — действие,
• $m'$ — масса частицы (массу же центрального тела обозначим здесь как $m$).

Это уравнение является обобщением уравнения между релятивистскими энергией и импульсом частицы в специальной теории относительности

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=(m')^{2}c^{4}$.

Обобщённое уравнение является общековариантным (физическое содержание уравнения не зависит от выбора системы координат). В развёрнутом виде указанное уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид

$\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)^{-1}\left({\frac {\partial S}{c\,\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}-(m')^{2}c^{2}=0$

Его можно переписать следующим образом

$E^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)^{2}P^{2}c^{2}+\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right){\frac {N^{2}c^{2}}{r^{2}}}+\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)(m')^{2}c^{4}$ где

• $N$ — момент импульса частицы;
• $r_{g}$ — гравитационный радиус центрального притягивающего тела с массой $m$.

Для вышеуказанного приближения нужно положить в этом уравнении массу частиц (фотонов) $m'$ равной нулю, пренебречь моментом импульса (спином) фотонов $N$ и воспользоваться соотношениями неопределённостей Гейзенберга $P\,r\approx \hbar$. Тогда получим приближенное уравнение для полной энергии

График функции $E(\lambda )$ с моментом импульса $l=1$

$E\approx \left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)P\,c=\left(1-{\frac {2G\,m}{c^{2}r}}\right)P\,c\approx \left(1-{\frac {2\ell _{P}^{2}}{\lambda ^{2}}}\right){\frac {\hbar c}{\lambda }}$ где

• $r=\lambda$ — длина волны фотонов;
• $r_{g}=2G\,m/c^{2}$ — гравитационный радиус центрального тела.

В этом выражении гравитационную массу $m$ нужно заменить на $P/c$, где $P$ — импульс фотонов; $P\approx \hbar /\lambda$. Полученное уравнение с точностью до коэффициента $2$ совпадает с установленным выше уравнением для полной энергии системы фотонов.

Для учета момента импульса фотонов в указанном уравнении нужно выполнить подстановку $N^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)$, где $l$ — квантовое число полного момента импульса фотонов. Учет момента импульса фотонов приводит к появлению в образующейся планковской черной дыре второго, внутреннего горизонта событий (точка 2 на графике).

Для заряженной черной дыры метрический коэффициент $g_{00}$, согласно решению Рейсснера-Нордстрема, имеет вид:

$g_{00}=1-{\frac {r_{g}}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{c^{4}r^{2}}}$; где $Q$ — общий заряд черной дыры.

Учитывая то, что планковский заряд $Q={\sqrt {\hbar c}}$, тогда на планковском уровне: ${\frac {GQ^{2}}{c^{4}r^{2}}}={\frac {G\hbar }{c^{3}{\lambda }^{2}}}={\frac {\ell _{P}^{2}}{{\lambda }^{2}}}$.

Поэтому метрический коэффициент $g_{00}$ принимает вид: $g_{00}=1-{\frac {r_{g}}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{c^{4}r^{2}}}=1-{\frac {2\ell _{P}^{2}}{{\lambda }^{2}}}+{\frac {\ell _{P}^{2}}{{\lambda }^{2}}}=1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{{\lambda }^{2}}}$;

То есть заряд практически не влияет на общую функциональную зависимость $E(\lambda )$. Общее правило таково: метрический коэффициент $g_{ik}$ не может быть больше единицы.

Этот мысленный эксперимент использует как общую теорию относительности, так и принцип неопределённости квантовой механики. Обе теории предсказывают, что невозможно измерение с точностью, которая превосходит планковскую длину. В любой теории квантовой гравитации, комбинирующей общую теорию относительности и квантовую механику, традиционное представление о пространстве и времени неприменимо на расстояниях меньше планковской длины или для промежутков времени меньше, чем планковское время. Отсюда, по мнению А. П. Климца, вытекает, что на планковском уровне все частицы являются безмассовыми и двигаются со скоростью света

Планковская длина и размерность пространства

Сейчас, по всеобщему убеждению специалистов, при планковских параметрах $l\sim \ell _{P}$, $t\sim t_{P}$, $M\sim M_{P}$ формируется «истинная» физика в том смысле, что понимание происходящих процессов в этой области приведет к построению единой теории поля, квантовой теории гравитации, созданию теории происхождения Метагалактики и количественному представлению физической геометрии. Это же относится и к размерности пространства.

Анализ уравнения Гамильтона-Якоби для фотонов в пространствах различной мерности $n$ указывает на предпочтительность (энергетическую выгодность) трёхмерного пространства для возникновения планковских черных дыр, реальных или виртуальных (квантовой пены).

Действительно, согласно Эренфесту, выражения для потенциальной энергии в пространствах различной мерности имеют вид

$E_{pot}^{(n\geq 3)}\approx -{\frac {k\,m^{2}}{(n-2)r^{n-2}}};\,\,\,\,n\geq 3$

$E_{pot}^{(2)}\approx k\,m^{2}\ln r;\,\,\,\,n=2$

$E_{pot}^{(1)}\approx k\,m^{2}\,r;\,\,\,\,n=1$

где $k$ — константа взаимодействия в $n$-мерном пространстве. С обычной постоянной Ньютона она находится через сшивку потенциалов для 3-мерного пространства и соответствующего $n$-мерного пространства.

Для потенциальной энергии взаимодействующих фотонов эти уравнения принимают вид (с учётом того, что $m\rightarrow P/c\,;P\approx \hbar /\lambda ;\,\,r=\lambda$)

Графики функций $E^{(n)}(\lambda )$

$E_{pot}^{(n\geq 3)}\approx -{\frac {k\,(P/c)^{2}}{(n-2)r^{n-2}}}=-{\frac {k\,(\hbar /\lambda \,c)^{2}}{(n-2)\lambda ^{n-2}}};\,\,\,\,n\geq 3$

$E_{pot}^{(2)}\approx k\,(P/c)^{2}\ln r=k\,(\hbar /\lambda \,c)^{2}\ln \lambda ;\,\,\,\,n=2$

$E_{pot}^{(1)}\approx k\,(P/c)^{2}\,r=k\,(\hbar /\lambda \,c)^{2}\,\lambda ;\,\,\,\,n=1$

Тогда полная энергия взаимодействующих фотонов в пространствах различной мерности приближенно равна

$E^{(n)}(\lambda )\approx E_{kin}+E_{pot}^{(n)}$

где кинетическая энергия $E_{kin}=P\,c=\hbar \,c/\lambda$ от размерности пространства не зависит.

Уравнения для полной энергии $E^{(n)}(\lambda )\approx E_{kin}+E_{pot}^{(n)}$ в пространствах $U^{n}$ будут иметь форму (с учетом того, что $k=c=\hbar =1$)

$E^{(n\geq 3)}(\lambda )\approx E_{kin}+E_{pot}^{(n\geq 3)}={\frac {Pc}{2}}-{\frac {kP^{2}}{c^{2}(n-2)\lambda ^{n-2}}}=\left(1-{\frac {2}{(n-2)\lambda ^{n-1}}}\right){\frac {1}{2\lambda }};\ \ \ n\geq 3$

$E^{(2)}(\lambda )\approx E_{kin}+E_{pot}^{(2)}={\frac {Pc}{2}}+{\frac {k}{c^{2}}}P^{2}{ln\,\lambda }=\left(1+{\frac {2ln\,\lambda }{\lambda }}\right){\frac {1}{2\lambda }};\ \ \ n=2$

$E^{(1)}(\lambda )\approx E_{kin}+E_{pot}^{(1)}={\frac {Pc}{2}}+{\frac {k}{c^{2}}}P^{2}\lambda ={\frac {1,5}{\lambda }};\ \ \ n=1$

Графики функций $E^{(n)}(\lambda )$ показаны на рисунке и указывают, что образование планковских черных дыр (реальных или виртуальных) энергетически наиболее выгодно в 3-мерном пространстве.

Если предположить, что на планковском масштабе виртуальные чёрные дыры формируют так называемую пространственно-временную квантовую пену, являющуюся основой «ткани» Вселенной, то энергетическая выгодность при образовании планковских чёрных дыр, скорее всего, предопределила 3-мерность наблюдаемого пространства. Не пространство существует и отпечатывает свою форму на вещах (в виде ящика, наполненного материальными объектами по Ньютону), но вещи и физические законы, управляющие ими, определяют пространство. Эта точка зрения достигает максимальной обоснованности в общей теории относительности Эйнштейна.

Философия размерности пространства

Понятие размерности пространства связано с конкретным физическим законом и причастно к одному из идейных противоборств в истории физики — противоборству между концепциями абсолютности и относительности пространства.

Первая концепция предполагает, что пространство есть нечто абсолютное, заданное, нечто, подобное готовой сцене, на которой разыгрываются физические явления, но которая не зависит от этих явлений.

Вторая концепция относительности пространства означает, что пространственные отношения — это некоторые отношения физических тел между собой.

Если пространство и можно уподобить сцене, то эта сцена создается в ходе самого спектакля, создается физическими явлениями, взаимодействиями между телами. И существующей независимо от взаимодействий эту сцену, по мнению А. П. Климца, нельзя даже помыслить.

Концепция абсолютного пространства победила в механике Ньютона.

В общей теории относительности победила концепция относительности пространства, убежденным сторонником которой был Лейбниц. Под влиянием взглядов Лейбница находился и Кант. В 23 года он написал: «Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния… Легко доказать, что не было бы никакого пространства и никакого протяжения, если бы субстанции не обладали никакой силой действовать вовне. Без этой силы нет никакой связи — никакого порядка, без порядка нет никакого пространства». То есть пространство есть порядок в совокупности тел, пространство — отношения тел. Эти отношения проявляются в силах, действующих между телами.

У Канта речь идет о силе, обратно пропорциональной квадрату расстояния, что просто физически обосновывает трехмерность наблюдаемого пространства.

А. П. Климец рассматривает общие закономерности в многомерных пространствах, в свое время установленные Эренфестом, но применительно к безмассовым квантам энергии, существование которых характерно для планковского масштаба. Для него естественно предположить, что взаимодействия между безмассовыми квантами энергии создают такую систему отношений, которая является энергетически наиболее выгодной. На планковском масштабе взаимодействия между безмассовыми квантами энергии (фотонами, гравитонами и т. п.), в результате которых образуются планковские черные дыры, реальные и виртуальные, (квантовая «пена», основа ткани Вселенной), энергетически наиболее выгодно в системе отношений, формирующих пространство размерности три.

Изложенное приводит А. П. Климца к мнению о том, что трехмерность пространства связана с фундаментальными свойствами материального мира на планковском уровне.

Соотношения неопределенностей на планковском масштабе

Частица массой $m$ имеет приведённую комптоновскую длину волны

${\overline {\lambda }}_{C}={\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}$

С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен

$r_{g}={\frac {2Gm}{c^{2}}}=2\,{\frac {G}{c^{3}}}\,mc$

Произведение этих величин всегда постоянно и равно

$r_{g}{\overline {\lambda }}_{C}=2\,{\frac {G}{c^{3}}}\,\hbar =2\ell _{P}^{2}$

Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид

$\Delta r_{g}\Delta {\overline {\lambda }}_{C}\geq {\frac {G}{c^{3}}}\,\hbar =\ell _{P}^{2}$

что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим

$\Delta \left(2\,{\frac {G}{c^{3}}}\,mc\right)\Delta {\overline {\lambda }}_{C}\geq {\frac {G}{c^{3}}}\,\hbar$

Сокращая одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга

$\Delta \left(mc\right)\Delta {\overline {\lambda }}_{C}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Соотношения неопределенностей и уравнение Эйнштейна

Соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом и комптоновской длиной волны частицы является частным случаем общего соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}$

где $R_{\mu }$ — компонента радиуса кривизны малой области пространства-времени; $x_{\mu }$ — сопряженная координата малой области.

В самом деле, указанные соотношения неопределенностей можно получить, исходя из уравнений Эйнштейна

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

где $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{abcd}$ посредством свёртки его по паре индексов, $R$ — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g_{\mu \nu }$ — метрический тензор, $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{\mu \nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, $\pi$ — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона.

В приведенной форме сущность правой стороны уравнений Эйнштейна $(1)$ сильно затемнена. Целесообразно переписать эти уравнения, сгруппировав константы в отдельные множители, имеющие определенный смысл

$\left({\frac {1}{4\,\pi }}\right)(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=2\,\left({\frac {G}{c^{3}}}\right)\left({\frac {1}{c}}\,\,T_{\mu \nu }\right)$

Простая перегруппировка множителей позволяет глубже проникнуть в физическую природу явления. Известно, что множитель $(1/c)\,T_{\mu \nu }$ связан с плотностью и потоком энергии-импульса материи, а с помощью множителя $(G/c^{3})$ можно выполнить переход к планковскому масштабу, так как такой же множитель присутствует и в выражении для планковской длины $\ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}$.

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, то есть искривленным. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Пример: если вырезать из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться геометрией Евклида. Подобный прием — вычленение из более сложной геометрии простейшей (в данном случае геометрии Евклида) с помощью выделения малой части полного пространства (здесь сферы) — прием весьма распространенный. На примере сферы становится ясным, что с уменьшением кривизны или увеличением размеров поверхность локально приближается к евклидову пространству. Локально — в малом — сферу можно аппроксимировать частью плоскости; глобально — в целом — невозможно. Такое приближение реализуется и в более общем случае, когда все компоненты кривизны уменьшаются.

Для любого тензорного поля $N_{\mu \nu ...}$ величину $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ можно назвать тензорной плотностью, где $g$ — определитель метрического тензора $g_{\mu \nu }$. Когда область интегрирования мала, $\int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат. Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трехмерной гиперповерхности $S^{\nu }$.

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства

${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }=2\,\left({G \over c^{3}}\right)\,{1 \over c}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, то есть является практически плоской, из $(1)$ получаем тензорное уравнение

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

где $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — компонента 4-импульса материи; $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — компонента радиуса кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение $(2)$ можно переписать в другом виде. Так как $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$ то

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}\,P_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$

где $r_{g}$ — радиус Шварцшильда, $U_{\mu }$ — 4-скорость, $m$ — гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величины $R_{\mu }$, как $\mu$-компоненты радиуса Шварцшильда. Заметим, что здесь $R_{\mu }R^{\,\mu }=r_{g}^{2}$ (сравните, например, с $dx_{\mu }dx^{\,\mu }=dS^{2}$).

Здесь выражение для гравитационного радиуса $r_{g}=2\,(G/c^{3})mc$ является более удобной формой записи, чем форма $r_{g}=2\,(G/c^{2})m$. В этом случае видна преемственность между полученным тензорным уравнением (2) и выражением для гравитационного радиуса массивного тела или аналогичного выражения для взаимодействующих безмассовых фотонов $\lambda _{g}=2\,(G/c^{3})P$ и их связь с планковской длиной. Это происходит благодаря наличию множителя $(G/c^{3})$.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$. В этом случае получаем

$R_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}\,mc=r_{g}$

В малой области пространство-время практически плоское и тензорное уравнение $(2)$ можно записать в операторном виде

${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

где $\hbar$ — постоянная Дирака. Тогда коммутатор операторов ${\hat {R}}_{\mu }$ и ${\hat {x}}_{\mu }$ равен

$[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}$

Откуда следуют вышеуказанные соотношения неопределенностей

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$

Подставляя в $(4)$ значения $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$ и $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ и сокращая справа и слева одинаковые константы, приходим к соотношениям неопределенностей Гейзенберга.

$\Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Отметим, что теперь, согласно уравнению $R_{\mu }=(2G/c^{3})P_{\mu }$, наряду с выражениями для квантов энергии-импульса $P_{\mu }=\hbar \,k_{\mu }$ справедливы выражения для величины $R_{\mu }=2\ell _{P}^{2}\,k_{\mu }$ (но не квантов пространства-времени), где $k_{\mu }$ — волновой 4-вектор. То есть величина $R_{\mu }$ квантуется, но шаг квантования чрезвычайно малый. Это может послужить основой для построения квантовой теории гравитации.

В статическом случае должно быть справедливо соотношение

$R_{0}^{(n)}=r_{g}^{(n)}=2\ell _{P}^{2}\,k_{0}(n+1/2);\,\,\,\,n=0,1,2,...$.

то есть на планковском уровне гравитационный радиус черных дыр квантуется. Такие планковские черные дыры можно назвать квантами пространства, если квант пространства определить как минимальный объем, неделимый далее. В вакууме ($n=0$) гравитационный радиус виртуальных планковских черных дыр будет иметь вид $R_{0}^{(0)}=r_{g}^{(0)}=\ell _{P}^{2}\,k_{0}$.

Для статического сферически симметричного поля и статического распределения материи найденное соотношение неопределенностей принимает вид

$\Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$

где $r_{g}$ — радиус Шварцшильда, $r$ — радиальная координата. Здесь $R_{0}=r_{g}$, а $x_{0}=c\,t=r$, так как на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Для вакуума на планковском уровне характерным будет являться последнее соотношение неопределенностей $\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$, так как вакууму нельзя приписать состояние движения или вектор скорости. В пространстве Минковского из-за его высокой симметрии для всех инерциальных систем отсчёта вакуум — одно и то же состояние, в любой системе отсчета он будет выглядеть покоящимся (статическим). Поэтому планковский вакуум, согласно указанному соотношению неопределенностей, будет генерировать червоточины и крошечные виртуальные черные дыры (квантовую пену).

Основное уравнение квантовой теории гравитации

Из уравнений (2) и (3) видно, что основное уравнение квантовой теории гравитации (уравнение Климца) должно иметь следующую форму (аналогично уравнению Шредингера)

$-2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)$

В уравнении (5) пространственные и временная координаты равноправны. Оператор ${\hat {R}}_{\mu }$ действует как генератор бесконечно малых смещений квантовых состояний в искривленном пространстве-времени. Его вид зависит от конкретной ситуации. Можно предположить, что волновая функция $\Psi (x_{\mu })$ является многокомпонентной по аналогии с уравнением Дирака, если величину$R_{\mu }$ подвергнуть линеаризации. Отсюда должен следовать спин гравитонов 2.

Оценка уравнений общей теории относительности на планковском уровне

Последнее соотношение неопределенностей позволяет выполнить некоторые оценки уравнений общей теории относительности применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала $dS$ в решении Шварцшильда имеет вид

$dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределенностей, вместо $r_{g}$ величину $r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r$ получим

$dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Видно, что на планковском уровне $r=\ell _{P}$ инвариантный интервал $dS$ ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений ОТО. В макроскопической физике, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить отношение гравитационного радиуса к расстоянию до центра притяжения $\zeta ={r_{g}}/{r}$ и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Например, параметром $\zeta$ определяется масштаб изменения хода часов. Для Солнца параметр $\zeta$ составляет примерно $4\cdot 10^{-6}$ или $1,76$ угл.сек, то есть луч света, проходя вблизи края диска Солнца, отклонится на величину порядка $4\cdot 10^{-6}$ радиан. Для Меркурия этот параметр будет составлять $10^{-7}$, что за сто земных лет дает для смещения перигелия Меркурия $43$ угл.сек. Параметр $\zeta$ входит и во все остальные оценки. Но, как мы выяснили выше, параметр $\zeta =r_{g}/r$ на планковском уровне имеет вид $\sim \ell _{P}^{2}/r^{2}$, поэтому для того, чтобы сделать оценку любого соотношения, получаемого в рамках общей теории относительности применительно к планковскому масштабу, необходимо отношение $r_{g}/r$ заменить выражением $\zeta \sim \ell _{P}^{2}/r^{2}$. Действительно, выше мы видели, что параметр $\zeta$ определяет на планковском уровне коллапс фотонов, размерность пространства, неевклидовость пространства-времени, флуктуации метрики пространства-времени.

Мерцание геометрии пространства-времени и виртуальные черные дыры

Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии.

Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову. Степень отклонения $\zeta$ геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала $\varphi$ и квадрата скорости света $c$ : $\zeta =\varphi /c^{2}$. Когда $\zeta \ll 1$, геометрия близка к евклидовой; при $\zeta \sim 1$ всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба $L$ равна $E=\hbar \nu \sim \hbar c/L$ ($c/L$ — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой $m$, на такой длине есть $\varphi =Gm/L$, где $G$ — постоянная всемирного тяготения. Вместо $m$ следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия $E$ $\left(m=E/c^{2}\right)$. Получаем $\varphi =GE/L\,c^{2}=G\hbar /L^{2}c$. Разделив это выражение на $c^{2}$, получим величину отклонения $\zeta =G\hbar /c^{3}L^{2}=\ell _{P}^{2}/L^{2}$. Приравняв $\zeta =1$, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине $\ell _{P}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}\approx 10^{-35}\ {\text{м}}$. Здесь появляется квантовая пена.

Метрика пространства-времени $g_{00}\approx 1-\Delta g=1-\ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ флуктуирует, порождая так называемую пространственно-временную квантовую пену, состоящую из виртуальных планковских черных дыр и червоточин. Но эти флуктуации $\Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}$ в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с $1$ и становятся заметными только на планковском масштабе. Флуктуации $\Delta g$ необходимо учитывать при использовании метрики специальной теории относительности $(+1,-1,-1,-1)$ в очень малых областях пространства и при больших импульсах. Поэтому выражение для инвариантного интервала $dS$ в сферических координатах нужно всегда записывать в виде

$dS^{2}=\left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{{(\Delta r)}^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{{(\Delta r)}^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Однако, ввиду малости величины $\ell _{P}^{\,2}/(\Delta r)^{2}$ выражение для инвариантного интервала обычно записывается в галилеевой форме, что неверно. Правильное выражение должно учитывать флуктуации метрики пространства-времени и гравитационный коллапс материи при планковском масштабе расстояний. Видно, что на планковском масштабе Лоренц-инвариантность нарушается.

В физических работах обычно определяют некий малый параметр, которым при четко определенных условиях можно пренебречь. Как правило, приближение выражается в форме неравенства, когда безразмерная величина, определяющая приближение, становится малой сравнительно с единицей. Например, классическая механика Ньютона верна, если выполняются два условия: $v/c\ll 1;\hbar /S\ll 1$ ($c$ — скорость света, $v$ — скорость тела, $\hbar$ — постоянная Планка, $S$ — действие). В нашем случае специальная и общая теория относительности верны, когда $\ell _{P}^{2}/L^{2}\ll 1$ ($\ell _{P}$ — планковская длина, $L$ — макроскопическая длина). При $\ell _{P}^{2}/L^{2}\sim 1$ действуют законы квантовой гравитации. В физике царствуют приближения.

Известно, что координатная скорость света $c_{k}$ в некотором месте с гравитационным потенциалом $\varphi =-Gm/r$ равна $c_{k}=c\,(1+2\,\varphi /c^{2})=c\,(1-r_{g}/r)$, где $c$ — физическая скорость света. Тогда на планковском масштабе из-за квантовых флуктуаций потенциала выражение для координатной скорости света будет иметь вид $c_{k}=c\,(1-\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2})$. Здесь $\lambda$ — длина волны света, испускаемого источником. Чем большее расстояние от источника пройдет свет и чем короче его длина волны, тем сильнее будет заметна дисперсия лучей из-за накопившихся искажений. В данном случае неоднородности скорости фотонов $\Delta c=c\,\ell _{p}^{2}/(\Delta \lambda )^{2}$ определяются не планковской длиной, а ее квадратом, так что эти неоднородности неизмеримо малы (порядка $10^{-56}\,c$ для $\lambda =10^{-5}$ см) и изображения удаленных источников будут резкими даже на метагалактических расстояниях.

Как отмечено в, «для области пространства-времени с размерами $L$ неопределенность символов Кристоффеля должна быть порядка $\ell _{P}^{2}/L^{3}$, а неопределенность метрического тензора — порядка $\ell _{P}^{2}/L^{2}$. Если $L$ — макроскопическая длина, то квантовые ограничения фантастически малы и ими можно пренебрегать даже в атомных масштабах. Если же величина $L$ сравнима с $\ell _{P}$, то сохранить прежнее (обычное) понятие пространства становится все труднее и труднее и становится очевидным влияние микрокривизны.»

Выражение для флуктуаций метрики согласуется с соотношением неопределенностей Бора-Розенфельда $\Delta g\,(\Delta L)^{2}\geq 2\ell _{P}^{2}$ .

С этой точки зрения другие выражения для флуктуаций метрического тензора, а именно $\Delta g\sim \ell _{P}/L$ и его первых производных (символов Кристоффеля) $\Delta \Gamma \sim \ell _{P}/L^{2}$, установленные в по аналогии с электродинамикой, не соответствуют действительности, так как гравитация (геометродинамика) принципиально отличается от электродинамики. Наблюдения за степенью размытости удаленных звездных объектов не подтвердили указанные выражения. Правильным является выражение вида $\Delta g\sim \ell _{P}^{2}/L^{2}$.

Как подчеркнуто в, «эти мелкомасштабные флуктуации говорят о том, что повсюду в пространстве все время происходит нечто похожее на гравитационный коллапс, что гравитационный коллапс по существу постоянно совершается, но постоянно совершается и обратный процесс, что кроме гравитационного коллапса Вселенной и звезды необходимо рассматривать также третий и наиболее важный уровень гравитационного коллапса при планковском масштабе расстояний.»

Выписанные выше соотношения неопределенностей справедливы для любых гравитационных полей, так как в достаточно малой 4-области любого гравитационного поля пространство-время является практически плоским.

Отметим, что согласно Маркову М. А., реальные планковские черные дыры с массой $10^{-5}\ {\text{г}}$ могут не «испаряться», а являться устойчивыми образованиями. Дело в том, что может «испариться» вся масса черной дыры, за исключением той ее части, которая связана с энергией нулевых, квантовых колебаний вещества черной дыры. Такие колебания не повышают температуру объекта и их энергия не может излучиться. С другой стороны, квантовые законы сохранения барионного и лептонного зарядов также должны воспрепятствовать полному «испарению» черной дыры. Остаточная масса составляет $10^{-5}\ {\text{г}}$. Планковские черные дыры имеют чрезвычайно малое сечение взаимодействия $10^{-66}$ см². Это приводит к тому, что звезды и планеты практически полностью для них прозрачны — длина свободного пробега планковской черной дыры в веществе ядерной плотности сравнима с радиусом видимой части Вселенной, в связи с чем их очень трудно обнаружить. Поэтому планковские черные дыры, возникшие в результате коллапса излучения в первые доли секунды Большого взрыва (например, при столкновении энергичных фотонов), гипотетически могут служить источником загадочной темной материи. Как известно, темная материя никак себя не проявляет, кроме гравитационного воздействия на видимую часть материи.

С другой стороны, соотношение неопределенностей $\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$ свидетельствует, что на планковском масштабе существует вакуум, состоящий из виртуальных планковских черных дыр. Плотность энергии такого вакуума не изменяется при расширении Вселенной, что создает отрицательное давление вакуума. Этот вакуум может служить источником темной энергии.

Из соотношения неопределенностей $\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$ следует, что уменьшение $\Delta r$ приведет к увеличению $\Delta r_{g}$ и наоборот. При $r\ll \ell _{P}$ радиус Шварцшильда $r_{g}$ превышает как $r$, так и планковскую длину $\ell _{P}$. Поэтому любая попытка зондирования масштабов длины $r\ll \ell _{P}$ потребует локализации энергии в пределах радиуса, который много меньше, чем соответствующий радиус Шварцшильда, $r_{g}\gg \ell _{P}$. Таким образом, соответствующий акт измерения приведет к формированию макроскопической классической черной дыры задолго до того, как у нас появится шанс измерить расстояние $r\ll \ell _{P}$.

Видно, что планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10⁻³⁵ метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размераУменьшение комптоновской длины волны частицы приведет к увеличению радиуса Шваршильда чёрной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры.

Виртуальные планковские черные дыры важны и для теории элементарных частиц. Дело в том, что при проведении расчетов в современной квантовой теории и, в частности, при вычислении собственной энергии частиц обычно учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появлению известных расходимостей. Учет гравитационного взаимодействия соответствующих виртуальных частиц и возможности появления виртуальных (короткоживущих) черных дыр в промежуточном состоянии должен привести к устранению этих расходимостей.

Видно, что на планковском уровне материя находится в чернодырном состоянии, причем планковские черные дыры характеризуются различными квантовыми числами. Предполагается, что основой (ядрами) кварков и лептонов являются планковские черные дыры и это может явиться альтернативой теории струн. Весомая материя может быть построена из планковских черных дыр. В свободном же состоянии планковские черные дыры, как отмечалось выше, могут выступать в качестве так называемой темной материи.

Проблема сингулярностей в планковских черных дырах разрешается, если предположить, что сингулярности многомерны и потому обладают неограниченной вместимостью и конечной плотностью материи (см., § 5 или здесь). Предполагается, что дополнительные размерности пространства в сингулярности компактифицированы (свернуты в кольца). Таким образом, трехмерность внешнего, наблюдаемого пространства обусловлена энергетической выгодностью при формировании виртуальных планковских черных дыр (квантовой пены^[en]), а многомерный характер скрытых под горизонтом событий сингулярностей в черных дырах решает проблему бесконечной плотности коллапсирующей материи.

Квантование пространства и планковская длина

В 1960-е годы гипотеза о квантовании пространства-времени на пути объединения квантовой механики и общей теории относительности привела к предположению о том, что существуют ячейки пространства-времени с минимально возможной длиной, равной фундаментальной длине. Согласно этой гипотезе степень влияния квантования пространства на проходящий свет зависит от размеров ячейки. Для исследования необходимо интенсивное излучение, прошедшее как можно большее расстояние. Из представленной Уилером картины пространственно-временной пены следует что для фотонов с длиной волны $\lambda$, распространяющихся в пене, время пробега $T$ от источника до детектора должно быть неопределенным в соответствии с законом, который может зависеть только от пройденного расстояния $x$, длины волны частицы $\lambda$ и планковского масштаба $\ell _{P}$ с формой типа $\delta T\sim x^{n}\ell _{P}^{1+m-n}/\lambda ^{m}$, где $m$ и $n$ — степени, зависящие от модели, а $1+m-n>0$. Феноменология квантовой гравитации в настоящее время сосредоточена в основном на эффектах, подавленных в первой степени шкалы Планка, поскольку более сильное подавление приводит к еще более слабым эффектам. Поэтому, картина, на которую сейчас ориентируются экспериментаторы, соответствует следующему выбору: $n=m=1$, то есть $\delta T\sim x\,\ell _{P}/\lambda$.

В настоящее время группа ученых воспользовалась данными съёмки гамма-вспышки GRB 041219A, осуществленной с европейского космического телескопа Integral. Гамма-вспышка GRB 041219A вошла в 1 % самых ярких гамма-вспышек за весь период наблюдения, а расстояние до ее источника не менее 300 миллионов световых лет. Наблюдение «Интеграла» позволило оценить размер ячейки на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана.

Анализ данных показал: если зернистость пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10⁻⁴⁸ метров или меньше. Теория квантования пространства-времени этим дискредитируется. В запасе есть два варианта для объяснения этого факта. Первый вариант исходит из того, что на микроуровне — в планковском масштабе — пространство и время варьируются одновременно друг с другом, так что скорость распространения фотонов при этом не меняется. Второе объяснение предполагает, что неоднородности скорости фотонов определяются не планковской длиной, а ее квадратом (порядка $10^{-66}$ см²), так что эти неоднородности становятся неизмеримо малыми. Действительно, в поле тяжести координатная скорость света изменяется, вследствие чего световые лучи искривляются. Если мы обозначим через $c$ физическую скорость света в начале координат, то координатная скорость света $c_{k}$ в некотором месте с гравитационным потенциалом $\varphi$ будет равна $c_{k}\approx c(1+\varphi /c^{2}).$ Но тогда, как было показано выше, на планковском масштабе $c_{k}\approx c(1-\ell _{P}^{2}/l^{2})$. То есть флуктуации скорости света $\Delta c\approx c\ell _{P}^{2}/l^{2}$ определяются не планковской длиной, а квадратом планковской длины и потому являются неизмеримо малыми. В самом деле, если длина волны видимого света $\lambda \approx 10^{-5}$см, то в этом случае отношение $\ell _{P}^{2}/\lambda ^{2}=10^{-66}/10^{-10}=10^{-56}$ меньше отношения $\ell _{P}/\lambda =10^{-33}/10^{-5}=10^{-28}$ на 28 порядков.

С современной точки зрения гипотеза о квантовании пространства-времени является неудовлетворительной. В действительности из уравнений Эйнштейна, как было показано, следует квантование кривизны пространства-времени (квантование радиуса Шварцшильда). В соответствии с этим дисперсия световых лучей от удаленных галактик определяется не планковской длиной, а ее квадратом, $n=1;m=2$ и $\delta T\sim x\,\ell _{P}^{2}/\lambda ^{2}$, поэтому флуктуации скорости света будут неизмеримо малы и изображения удаленных источников будут резкими даже на метагалактических расстояниях.