Порядок интерференции

Поря́док интерфере́нции — оптическая разность хода излучения, выраженная в длинах волн данного излучения.

Физические основы

При интерференции света наблюдается система полос, максимумов и минимумов, физической причиной появления которых является волновая природа излучения (света). Наблюдения показывают, что максимумы и минимумы интерференционной картины отличаются друг от друга, что позволяет присвоить им некоторый условный номер, или порядок. Математически легко получить величину порядка интерференции, используя представления о волновой природе света как о системе гармонических волн определённой частоты и амплитуды.

Представим две гармонические волны с амплитудами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2} и фазами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_2} , интерферирующие друг с другом в некоторой области пространства, как решения дифференциального уравнения гармонических колебаний:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 (t)=A_1 \cos (wt+\varphi_1)} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2 (t)=A_2 \cos (wt+\varphi_2)} .

Тогда амплитуда результирующего колебания в точке равна:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^2=A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)} .

Когерентные волны

В случае когерентных волн разность фаз постоянна во времени в каждой точке, но различается от точки к точке, то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_2 - \varphi_1 = const} , а интенсивность результирующей волны равна:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_2-\varphi_1)} ,

где слагаемое Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_2-\varphi_1)} называют интерференционным членом.

Видно, что если косинус разности фаз больше нуля, то интенсивность интерференции в данной точке больше суммы интенсивности каждой из гармонических волн, а если меньше, то интенсивность интерференции в такой точке меньше суммы интенсивностей вызывающих её гармонических волн:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\varphi_2-\varphi_1) > 0, \Longrightarrow I > I_1+I_2} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\varphi_2-\varphi_1) < 0, \Longrightarrow I < I_1+I_2} .

Появление системы максимумов и минимумов на экране и есть проявление интерференции света.

Некогерентные волны

В случае некогерентных волн (более распространённый случай) разность фаз изменяется, а её среднее значение по времени равно нулю:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi_2 - \varphi_1 \neq const} ,

а результирующая интенсивность волны везде одинакова и равна сумме интенсивности волн, присутствующий в данной точке пространства:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=I_1+I_2} .

Интерференция не наблюдается. Однако, гипотетически, устремив время к нулю, то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t \longrightarrow 0} , интерференцию можно было бы наблюдать (теоретически).

Оптическая разность хода

Получить когерентные волны можно как от двух когерентных источников, так и разделив излучение от одного источника на две (минимально необходимое число разделений) части так, чтобы части этого излучения прошли разные оптические пути, но сошлись в одной области пространства (математически — в точке). В этом случае можно будет наблюдать интерференцию от двух когерентных гармонических волн с разными фазами и амплитудами.

Обозначив оптические пути двух таких когерентных волн как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_2} в средах с показателями преломления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_2} , получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(t) = A_1 \cos w \Biggl(t-\frac{S_1}{v_1} \Biggl)}

и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2(t) = A_2 \cos w \Biggl(t-\frac{S_2}{v_2} \Biggl)} .

Легко видеть, что разность фаз двух таких когерентных волн равна:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta = \varphi_2 - \varphi_1 = \frac{2\pi}{\lambda_0}\Delta} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_0}  — длина волны в вакууме, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta}  — оптическая разность хода, равная разности оптических длин путей интерферирующих гармонических волн Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_2} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta = n_2S_2 - n_1S_1 = L_2 - L_1} .

Условия максимумов и минимумов интерференционной картины можно получить, выразив оптическую разность хода лучей в единицах длин волн гармонических колебаний:

Условие максимума интерференционной картины (разность хода равна целому числу длин волн):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta = \pm m\lambda_0, (m=0, 1, 2 ...)} .

Условие минимума интерференционной картины (разность хода равна полуцелому числу длин волн):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta = \pm (2m+1)\frac{\lambda_0}{2}, (m=0, 1, 2 ...)} .

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}  — величина, называемая порядком интерференции.

Литература

• Калашников Н. В., Стоцкий Л. Р., Добрынина Н. П., Любимов Н. Г., Смирнов В. И., Тарасов Д. А. Единицы измерения и обозначения физико-технических величин. Справочник. — Москва : Изд-во «Недра», 1966.
• Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. — Москва : Наука, 1982.
• Бутиков Е. И. Оптика : учебное пособие для вузов. — СПб. : БХВ-Петербург : Невский ДиалектЪ, 2003.
• Ландсберг Г. С. Оптика : учебное пособие для вузов. — Москва : Физматлит, 2003.
• Заказнов Н. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория оптических систем : учебное пособие для студентов вузов. — СПб., : Лань, 2008.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. — Москва : Физматлит, 2014.
• Запрягаева Л. А. Прикладная оптика. Ч. 1. Введение в теорию оптических систем. — Москва : Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии, 2017.

Ссылки

• Семинары МГУ. Оптика

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Порядок интерференции», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Порядок_интерференции» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».