Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции — промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительны, либо только отрицательны. Другими словами, это те промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Для того, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной аналитически, необходимо решить неравенства. Решение этих неравенств и будут промежутками знакопостоянства функции. Эти неравенства можно решить двумя способами: с помощью систем неравенств или методом интервалов.

Основные понятия

• Нули функции — это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берём точки, где график пересекает ось х. Существует функция, которая не имеет нули функции, и это гипербола. Она имеет вид у=k/x, где х — число, не равное нулю.

• Чётная функция — это функция, в которой противоположное значение аргумента соответствует одинаковому значению функции. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).

• Нечётная функция — это функция, в которой противоположное значение аргумента соответствует противоположному значению функции. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

• Возрастающей называется функция в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; убывающей называется функция в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

• Промежутки монотонности функции — это промежутки на которых функция возрастает или убывает;

• Наибольшее значение функции — это самое большое значение функции, в сравнении со всеми остальными;

• Наименьшее значения функции — это самое маленькое значение функции, в сравнении с остальными.

Пример

Промежуток знакопостоянства функции — это все значения аргумента х из области определения функции, при которых функция в каждой точке промежутка принимает значения одного знака.

Файл:График с промежутками.png

График функции

На рисунке при $-10<x<-4$, $0<x<5$, $x>10$ функция принимает только положительные значения $y>0$, а при $x<-10$, $-4<x<0$, $5<x<10$ функция принимает только отрицательные значения $y<0$.

Последовательность решения

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки, в которых функция обращается в ноль, то есть значения аргумента, при которых значение функции равно нулю. Эти точки называются корнями функции;
2. Найдите точки, в которых функция может менять знак, то есть значения аргумента, при которых функция обращается в ноль или не существует. Эти точки называются точками разрыва или точками пересечения с осью абсцисс;
3. Разбейте область определения функции на интервалы, используя найденные точки;
4. Проверьте знак функции на каждом интервале, выбрав тестовую точку внутри интервала и подставив её в уравнение функции;
5. Запишите интервалы, на которых функция имеет постоянный знак.

Задача

Необходимо определить нули и промежутки знакопостоянства функции: $y={\frac {x^{2}-4x+3}{(x^{3}+x)^{2}}}$.

$D_{(y)}=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

Для начала необходимо найти нули функции, а именно точки, в которых значение функции равно 0: $y={\frac {x^{2}-4x+3}{(x^{3}+x)^{2}}}=0\Leftrightarrow {\begin{cases}x^{2}-4x+3=0\\x^{3}+x\neq 0\\\end{cases}}$

В таком случае получается, что x = 1 или x = 3.

Нули функции разбивают область определения функции на промежутки знакопостоянства. С помощью метода интервалов определяем знак функции на каждом промежутке:

Файл:Область определения функции.png

Область определения функции (ООФ)

Ответ: функция $y={\frac {x^{2}-4x+3}{(x^{3}+x)^{2}}}$ положительна при $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)\cup (3;+\infty )$, отрицательна при $x\in (1;3)$, а нулями функции являются х = 1 и х = 3.

См. также

• Функциональное уравнение
• Метод интервалов
• Нуль функции
• Функция

Литература

• Копыткова Л. Б. Практикум по математике для фармацевтов: Учебно-методические материалы лабораторных занятий. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2012. — 108 с.
• Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.—М.: Просвещение, 1990.— 416 с.
• Веретенников В. Н. Математический анализ: Учебное пособие (рукопись). Ч. 1 — СПб.: изд. РГГМУ, 2006—155 с.
• Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т.1. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 328 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 544 с.
• Козлов В. Н., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. Математика. Структурированная программа (базис). Типовые задачи для контроля, требования к знаниям и умениям студентов. — СПб.: Изд. СПБГТУ, 2001. — 55 с.
• Рябушко А. П. и др. Сб. индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. Ч. 1. — Мн.: Выш. шк., 1990. — 270 с.

Ссылки

• Промежутки знакопостоянства квадратичной функции
• Примеры решения типовых задач

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Промежутки знакопостоянства функции», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Промежутки_знакопостоянства_функции» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».