СМО с бесконечной очередью

Математическая модель СМО с бесконечной очередью

СМО с бесконечной очередью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается.

Число мест в очереди не ограничено.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ — в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;

…;

S_k — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

…;

S_n — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;

S_n+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

…;

S_n+r — в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;

S_n+r+1 — в системе имеется (n+r+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (r+1)-заявок ожидают в очереди;

….

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…, p_n, p_n,p_n+1,…,p_n+r,….

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

При χ<1 получаем

• Заметим, что при n=1 СМО с бесконечной очередью становится одноканальной.

Другие СМО

• СМО с отказами;
• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО с отказами и взаимопомощью;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО замкнутая без очереди.

Ссылки

• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
• Участник:Logic-samara