Теорема о раздвигании чисел при сохранении суммы

Теорема о раздвигании чисел при сохранении суммы — теорема о раздвигании двух неотрицательных чисел с сохранением суммы этих чисел.

Обозначения

$(a_{1},b_{1})$ – первая пара неотрицательных чисел;

$(a_{2},b_{2})$ – вторая пара неотрицательных чисел;

$a_{1}+b_{1}$ – сумма первой пары чисел;

$a_{2}+b_{2}$ – сумма второй пары чисел;

$a_{1}b_{1}$ – произведение первой пары чисел;

$a_{2}b_{2}$ – произведение второй пары чисел.

Определения

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|>|a_{2}-b_{2}|$ , то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется сдвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением суммы.

Если для пар неотрицательных чисел выполняются условия $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ и $|a_{1}-b_{1}|<|a_{2}-b_{2}|$ , то переход от пары $(a_{1},b_{1})$ к паре $(a_{2},b_{2})$ называется раздвиганием чисел $a_{1},b_{1}$ с сохранением суммы.

Теорема

При раздвигании двух неотрицательных чисел с сохранением их суммы произведение этих чисел уменьшается.

Доказательство

ч.т.д.

Другие теоремы:

1. о представлении квадратной матрицы в виде произведения двух треугольных;
2. о раздвигании чисел при сохранении произведения;
3. о раздвигании чисел при сохранении суммы;
4. о сдвигании чисел при сохранении произведения;
5. о сдвигании чисел при сохранении суммы;
6. о существовании второго числа-сомножителя на интервале, сохраняющего произведение концов интервала;
7. о существовании второго числа-слагаемого на интервале, сохраняющего сумму концов интервала.

Литература

• Арбит А. В. Неравенства и основные способы их доказательства. Ч.1. М.: МЦНМО, 2016, стр.60-61, 168 с.

Ссылки

• Участник:Logic-samara