Число Евклида

В математике числа Евклида — это числа вида E_n = p_n# + 1, где p_n# — n-й примориал (произведение первых n простых чисел). Они названы в честь древнегреческого математика Евклида в связи с теоремой Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел.

Евклидово число второго рода (также называемое числом Куммера) — это число вида E_n = p_{n# − 1', где pn# — n-й примориал.}

Примеры

Например, первые три простых числа — 2, 3, 5; Их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида равно 31.

Первые несколько чисел Евклида: 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... последовательность A006862 в OEIS.

Первые несколько чисел Куммера: 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... последовательность A057588 в OEIS.

История

Иногда ошибочно утверждается, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел основывалась на этих числах. Евклид не исходил из предположения, что множество всех простых чисел конечно. Скорее, он сказал: рассмотрим любое конечное множество простых чисел (он не предполагал, что оно содержит только первые «n» простых чисел) и, исходя из этого, пришел к выводу, что существует по крайней мере одно простое число, которого нет в этом множестве. Тем не менее, аргумент Евклида, примененный к множеству первых «n» простых чисел, показывает, что n-е число Евклида имеет простой множитель, которого нет в этом множестве.

Свойства

Не все числа Евклида или Куммера являются простыми.

E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 — первое составное число Евклида, а E₄ = 7# − 1 = 209 = 11 × 19 — первое составное число Куммера.

Для всех n ≥ 3 последняя цифра числа E_n равна 1, поскольку E_n − 1 делится на 2 и 5. Другими словами, поскольку все примориалы больше E₂ имеют 2 и 5 в качестве простых множителей, они делятся на 10, следовательно, все числа E_n ≥ 3 + 1 имеют последнюю цифру 1. Аналогично, последняя цифра каждого числа Куммера равна 9.

Ни одно число Евклида или Куммера не является совершенной степенью.

Нерешенные проблемы

Неизвестно, существует ли бесконечное число простых чисел Евклида или простых чисел Куммера. Также неизвестно, является ли каждое число Евклида бесквадратным числом.

См. также

• Доказательство бесконечности простых чисел (теорема Евклида)