Вариационный принцип Дарвина

Вариационный принцип Дарвина — вариационный принцип, на основе которого можно получить как уравнения Максвелла, так и уравнение Дирака. Был найден Ч. Дарвином в 1928 г.

Формулировка

$\delta S=\delta \int \int \int \int Ldxdydzdt=0,$

где плотность лагранжиана $L$ выражается через компоненты биспинорной волновой функции электрона$\Psi _{1,2,3,4}$, компоненты векторного потенциала $A_{x},A_{y},A_{z}$ и скалярный потенциал $\varphi$

$L={\frac {\hbar }{2i}}\left\{\Psi _{1}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{4}+{\frac {\partial \Psi _{3}}{\partial z}}\right]+\right.$

$+\Psi _{2}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{3}-{\frac {\partial \Psi _{4}}{\partial z}}\right]+$

$+\Psi _{3}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{3}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{2}+{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial z}}\right]+$

$+\left.\Psi _{4}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{4}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{1}-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial z}}\right]\right\}+$

$+mc\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{1}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{2}-\Psi _{3}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{4}\right)+$

$+{\frac {e\varphi }{c}}\sum _{j=1}^{4}\Psi _{j}^{*}\Psi _{j}+$

$+{\frac {e}{c}}A_{x}\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)+$

$+{\frac {e}{c}}A_{y}\left(-i\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+i\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}-i\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+i\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)+$

$+{\frac {e}{c}}A_{z}\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{1}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{2}\right)-$

$-{\frac {1}{8\pi c}}\left[(rotA)^{2}-\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial A}{\partial t}}+\nabla \varphi \right)^{2}\right]$

Уравнения Эйлера-Лагранжа

При варьировании $L$ считается функцией $\Psi ,\Psi ^{*},A_{x},A_{y},A_{z},\varphi$.

Уравнения Эйлера-Лагранжа, получающиеся из требования обращения в нуль вариации $\delta S$ дают уравнения Дирака:

$\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi +mc^{2}\right)\Psi _{1}+c\Pi _{-}\Psi _{4}+c\Pi _{3}\Psi _{3}=0$

$\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi +mc^{2}\right)\Psi _{2}+c\Pi _{+}\Psi _{3}-c\Pi _{3}\Psi _{4}=0$

$\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi -mc^{2}\right)\Psi _{3}+c\Pi _{-}\Psi _{2}+c\Pi _{3}\Psi _{1}=0$

$\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi -mc^{2}\right)\Psi _{4}+c\Pi _{+}\Psi _{1}-c\Pi _{3}\Psi _{2}=0$

Здесь $\Pi _{\pm }=\Pi _{1}\pm \Pi _{2},\Pi _{j}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+{\frac {eA_{j}}{c}},j=1,2,3,4$

Также они дают уравнения:

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\varphi =4\pi e\sum _{j=1}^{4}\Psi _{j}^{*}\Psi _{j}$

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A_{x}=-4\pi e\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)$

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A_{y}=-4\pi e\left(-i\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+i\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}-i\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+i\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)$

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A_{z}=-4\pi e\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{1}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{2}\right)$

Из них получаются уравнения Максвелла при помощи введения плотности заряда $-e\rho$ и плотности тока $-ej$, где $\rho =\Psi _{1}^{*}\Psi _{1}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{4}$, а компоненты плотности потока вероятности равны

$j_{x}=-c\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)$

$j_{y}=ic\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)$

$j_{z}=-c\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{1}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{2}\right)$

При этом предполагается выполненным следующее нормировочное соотношение:

$\sum _{j=1}^{4}\int \Psi _{j}^{*}\Psi _{j}d\tau =1$

Определённые таким образом величины удовлетворяют уравнению неразрывности:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} j=0$

См. также

• Уравнения Максвелла
• Уравнение Дирака