Выделение полного квадрата

Выделение полного квадрата (англ. сompleting the square) - метод приведения квадратичной функции одной переменной к эквивалентной форме полного квадрата. То есть квадратный трехчлен $\textstyle ax^{2}+bx+c$ преобразуется в эквивалнтную форму $\textstyle a(x-h)^{2}+k.$ Значение метода выделения полного квадрата в том, что он упрощает решение квадратного уравнения. После выделения полного квадрата в уравнении, его решение сводится к извлечению корней. Для получения эквивалентной данному квадратному уравнению формы полных квадратов применяется формулы сокращенного умножения многочленов.

Выделив в многочлене $a^{2}+2ab+b^{2}$ или $a^{2}-2ab+b^{2}$, согласно формулам сокращенного умножения многочленов (в данном случае $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$) мы можем получить полные квадраты, соответственно, $(a+b)^{2}$ или $(a-b)^{2}$.

Пример 1

Например в квадратном многочлене $x^{2}+6x-4$ можно выделить полный квадрат $(x+b)^{2}=x^{2}+2bx+b^{2}$. Коэффициенты $\ x^{2}$ как в рассматриваемом выражении так и в выражении полного квадрата одинаковые. Необходимо привести слагаемое $6x$ к виду $2bx$, то есть $2b$ должно быть равно $6$ или $b=3$. Для этого значения полный квадрат будет выглядеть следующим образом $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$. Чтобы этот полный квадрат соответствовал исходному многочлену, выражение должно быть записано следующим образом

$(x^{2}+6x+9)-9-4=(x^{2}+6x+9)-13=(x+3)^{2}-13$

То есть мы выделили в квадратном многочлене $x^{2}+6x-4$ полный квадрат $(x+3)^{2}$ минус постоянная $13$:

$x^{2}+6x-4=(x+3)^{2}-13$

Пример 2

Если $x^{2}$ имеет коэффициент не равный $1$, то первым шагом при выделии полного квадрата будет факторизация квадратного многочлена, чтобы привести коэффициент $x^{2}$ к единице. Последующие шаги такие же как и в первом примере.

Например многочлен $3x^{2}+18x-12$ сначала раскладывается на множители (факторизируется):

$3x^{2}+18x-12=3(x^{2}+6x-4)$.

Последующие шаги повторяют действия первого примера:

$3\{x^{2}+6x-4\}=3\{(x^{2}+6x+9)-9-4\}=3\{(x+3)^{2}-13\}.$

Таким образом мы получили полный квадрат.

Литература

• Tony Philips, "Completing the Square", American Mathematical Society Feature Column, 2020.
• Shefiu Zakariyah (2024). Foundation Mathematics for Engineers and Scientists with Worked Examples. Taylor & Francis. p. 254. ISBN 978-1-003-85984-0

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Выделение полного квадрата», расположенная по адресу: — https://руни.рф/index.php/Выделение_полного_квадрата Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».