Вычисление площадей и объёмов

Вычисление площадей и объемов — формулы и методы расчета площадей и объемов геометрических фигур (множеств).

Пусть $E$ — измеримое множество в $R^{n}$. Как известно,

$\mu E=\int _{}dE.$

Таким образом, с помощью n-кратного интеграла можно вычислять меру измеримых множеств в n-мерном пространстве (площадь — в двухмерном, объем — в трехмерном). Если n-кратный интеграл можно свести к повторному, то вычисление меры измеримого множества Е n-мерного пространства сведется к вычислению (n − 1)-кратного интеграла.

Пусть, например, D — открытое измеримое множество в (n-1)-мерном пространстве и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle R_{x_{1},\ldots ,x_{n-1}}^{n-1}\ x_{n}=f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})}  — неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\overline {D}}} , множества $D$, а Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle G=\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n});(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in D,0<x_{n}<f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\}} (таким образом, G является n-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции). Тогда
$\mu G=\int dG=\int dD\int _{0}^{f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})}dx_{n}=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})dD$ ,
то есть
$\mu G=\overbrace {\int \cdots \int } _{D}^{n-1\ {\text{раз}}}f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})dx_{1}\ldots dx_{n-1}.$

Меру произвольных (необязательно измеримых по Жордану), в частности неограниченных, открытых множеств пространства Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\textbf {R}}^{n},n\geq 2,} если её понимать как нижнюю меру Жордана Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \mu _{*}} , можно вычислить с помощью несобственных интегралов. Действительно пусть $G$ — произвольное открытое множество в ${\textbf {R}}^{n}$ и Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle G^{k},k=1,2,\ldots ,}  — последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпывающих множество $G$. Тогда, как известно, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mu G_{k}=\mu _{*}G.} Но, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \mu G_{k}=\int dG_{k}} , поэтому $\lim _{k\to \infty }\int dG_{k}.$

По определению же кратного несобственного интеграла, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int dG_{k}=\int dG.} Таким образом,

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \mu _{*}G=\int dG,}

где интеграл в правой части равенства понимается, вообще говоря (а именно: если G не является измеримой областью), как несобственный.

Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказывается удобным метод сечений.