Вычисление площадей и объёмов
Вычисление площадей и объемов — формулы и методы расчета площадей и объемов геометрических фигур (множеств).
Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} — измеримое множество в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R^n} . Как известно,
Таким образом, с помощью n-кратного интеграла можно вычислять меру измеримых множеств в n-мерном пространстве (площадь — в двухмерном, объем — в трехмерном). Если n-кратный интеграл можно свести к повторному, то вычисление меры измеримого множества Е n-мерного пространства сведется к вычислению (n − 1)-кратного интеграла.
Пусть, например, D — открытое измеримое множество в (n-1)-мерном пространстве и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R^{n-1}_{x_1,\ldots,x_{n-1}}\ x_n=f(x_1,\ldots,x_{n-1})}
— неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{D}}
, множества Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D}
, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G= \{x=(x_1,\ldots, x_n);(x_1,\ldots, x_{n-1})\in D, 0< x_n< f(x_1,\ldots,x_{n-1})\}}
(таким образом, G является n-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции). Тогда
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu G = \int dG = \int dD \int_{0}^{f(x_1,\ldots,x_{n-1})} dx_n = \int f(x_1,\ldots,x_{n-1})dD }
,
то есть
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu G = \overbrace{\int \cdots \int}^{n-1\ \text{раз}}_D f(x_1,\ldots,x_{n-1})dx_1\ldots dx_{n-1}.}
Меру произвольных (необязательно измеримых по Жордану), в частности неограниченных, открытых множеств пространства Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textbf{R}^n, n \ge 2,} если её понимать как нижнюю меру Жордана Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_*} , можно вычислить с помощью несобственных интегралов. Действительно пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} — произвольное открытое множество в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textbf{R}^n} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G^k, k=1,2,\ldots,} — последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпывающих множество Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Тогда, как известно, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{k\to\infty} \mu G_k = \mu_* G.} Но, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu G_k = \int d G_k} , поэтому Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{k\to\infty} \int d G_k.}
По определению же кратного несобственного интеграла, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{k\to\infty} \int d G_k = \int d G.} Таким образом,
где интеграл в правой части равенства понимается, вообще говоря (а именно: если G не является измеримой областью), как несобственный.
Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказывается удобным метод сечений.