Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Вычисление площадей и объёмов

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вычисление площадей и объемов — формулы и методы расчета площадей и объемов геометрических фигур (множеств).

Пусть  — измеримое множество в . Как известно,

Таким образом, с помощью n-кратного интеграла можно вычислять меру измеримых множеств в n-мерном пространстве (площадь — в двухмерном, объем — в трехмерном). Если n-кратный интеграл можно свести к повторному, то вычисление меры измеримого множества Е n-мерного пространства сведется к вычислению (n − 1)-кратного интеграла.

Пусть, например, D — открытое измеримое множество в (n-1)-мерном пространстве и  — неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании , множества , а (таким образом, G является n-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции). Тогда
,
то есть

Меру произвольных (необязательно измеримых по Жордану), в частности неограниченных, открытых множеств пространства если её понимать как нижнюю меру Жордана , можно вычислить с помощью несобственных интегралов. Действительно пусть  — произвольное открытое множество в и  — последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпывающих множество . Тогда, как известно, Но, , поэтому

По определению же кратного несобственного интеграла, Таким образом,

где интеграл в правой части равенства понимается, вообще говоря (а именно: если G не является измеримой областью), как несобственный.

Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказывается удобным метод сечений.