Преобразование случайной величины

Преобразование случайной величины (transformations of random variable) — построение функций от случайных величин, распределения вероятностей которых обладают заданными свойствами.

Если процессы могут быть описаны случайной величиной $X$ с функцией распределения $F_{X}(x)$, то можно рассмотреть и поведение функции случайной величины $X$. Если $X$ является случайной величиной, тогда любая функция от $X$ (функция случайной величины), например, $f(X)$ также является случайной величиной. При преобразовании, распределение вероятностей функции $f(X)$ будет иметь представление отличающееся от представления распределения случайной величины $X$. За исключением случаев линейного преобразования.

Для любого множества событий $A$:

$P(Y\in A)=(P(f(X)\in A)$,

где $Y$ — новая случайная величина, являющаяся функцией $f(X)$ случайной величины $X$. Так как $Y$ это функция случайной величины $X$, то мы можем описать ее вероятностное поведение посредством выражений, характеризующих $X$. Равенство показывает, что распределение случайной величины $Y$ зависит от функции распределения $F_{X}(x)$ и функции $f$. Функция $f(x)$ отображает пространство элементарных событий случайной величины $X$ — ${\mathcal {X}}$ в новое пространство элементарных событий — ${\mathcal {Y}}$ для случайной величины $Y$:

$f(x):{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$

Функция вероятности при преобразовании случайной величины

Если случайная величина $X$ является дискретной, то пространство элементарных событий ${\mathcal {X}}$ является счетным, тогда и пространство элементарных событий ${\mathcal {Y}}=\{y:f(x),x\in {\mathcal {X}}\}$ для случайной величины $Y=f(x)$ также будет счетным. Функция вероятности случайной величины $Y$ будет иметь вид

$p_{Y}(y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}p_{X}(x)$, где $y\in {\mathcal {Y}}$, $f^{-1}(y)$ - прообраз функции $f(x)$

Таким образом для того чтобы найти функцию вероятности для случайной величины $Y$, необходимо найти $f^{-1}(y)$ для каждого $y\in {\mathcal {Y}}$ и сложить их вероятности.

Наиболее простой случай это преобразование посредством монотонной функции. Если преобразование будет монотонным () тогда оно будет взаимно-однозначным ${\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$, когда каждому $x$ преобразуется только в одно $y$, а каждый $y$ является преобразованием только одного $x$. В результате такого преобразования образуются уникальные пары из $x$ и $y$

Функция распределения при преобразовании случайной величины

Для возрастающей монотонной функции на ${\mathcal {X}}$ функция распределения:

$F_{X}(y)=F_{X}(f^{-1}(y))$ для $y\in {\mathcal {Y}}$

Для убывающей монотонной функции на ${\mathcal {X}}$ функция распределения:

$F_{X}(y)=1-F_{X}(f^{-1}(y))$ для $y\in {\mathcal {Y}}$

Плотность вероятности при преобразовании случайной величины

Если случайная величина $X$ имеет плотность вероятности $f_{\chi }(x)$, а случайная величина $Y$, получающаяся при преобразовании равна $Y=f(X)$, где $f$ — монотонная функция, ${\mathcal {Y}}=\{y:y=f(x),x\in {\mathcal {X}}\}$, ${\mathcal {X}}=\{x:{f}_{\chi }(x)>0\}$ (${f}_{\chi }(x)$ — плотность вероятности $X$, и она непрерывная на ${\mathcal {X}}$ и $f^{-1}(y)$ непрерывно дифференцируема на ${\mathcal {Y}}$), то плотность вероятности $Y$ будет равна:

${f}_{\mathcal {Y}}(y)={\begin{cases}{f}_{\chi }(f^{-1}(y))\left|{\frac {d}{dy}}f^{-1}(y)\right|&{\text{если }}y\in {\mathcal {Y}}\\0&{\text{в остальных случаях}}\end{cases}}$

Литература

1. Большев Л. Н., Теория вероятностей и ее применения, 1959, Т. 4, в. 2, с. 136-49;
2. Большев Л.Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд., M., 1983.

См. также

• Преобразование данных (статистика)

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Преобразование случайной величины», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Преобразование_случайной_величины» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».