Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Основными арифмети́ческими опера́циями являются сложение, вычитание, умножение и деление.

При преобразовании математических выражений, включающих арифметические операции, используются свойства этих операций.

Свойства операций

• коммутативность (перестановочный закон) сложения:

$a+b=b+a$,

• вычитание есть действие, обратное сложению.
• вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b:

$a-b=a+(-b)$,

• коммутативность (перестановочный закон) умножения:

$a\cdot b=b\cdot a\$,

• деление есть действие, обратное умножению,
• деление на ноль невозможно,
• деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:

${a \over b}=a\left({1 \over b}\right)$.

• ассоциативное свойство (сочетательный закон) сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$,
• ассоциативное свойство (сочетательный закон) умножения: $(ab)c=a(bc)$,
• дистрибутивное свойство (распределительный закон) для умножения: $c(a+b)=ca+cb$.

Свойства равенства

• если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$ (транзитивность равенства),
• $a=a$ (рефлексивность),
• если $a=b$, то $b=a$ (симметричность).

Другие законы

• если $a=b$ и $c=d$, то $a+c=b+d$ (аддитивность равенства),
  • если $a=b$, то $a+c=b+c$ для любого c.
• если $a=b$ и $c=d$, то $ac$ = $bd$ (мультипликативность равенства),
  • если $a=b$, то $ac=bc$ для любого c.
• если значения двух символов совпадают, то вместо одного можно подставить другой (принцип подстановки),
• если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$ (транзитивность порядка),
• если $a>b$, то $a+c>b+c$ для любого c,
• если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$,
• если $a>b$ и $c<0$, то $ac<bc$.

Примеры

1. Необходимо найти сумму чисел: 81+37+19. Можно по очереди произвести сложение, но проще воспользоваться сочетательным законом, при котором:

(81 + 37) + 19 = (81 + 19) + 37 = 100 + 37 = 137.

2. Использование сочетательного закона для умножения:

(5 ⋅ 37) ⋅ 20 = (5 ⋅ 20) ⋅ 37 = 100 ⋅ 37 = 3700.

3. Использование распределительного закона для сложения и вычитания:

35 ⋅ (10 — 2) = 35 ⋅ 10 — 35 ⋅ 2 = 350 — 70 = 280.

35 ⋅ (10 + 2) = 35 ⋅ 10 + 35 ⋅ 2 = 350 + 70 = 420.

Арифметические действия с рациональными числами

Сложение чисел с одинаковыми знаками: сложить модули данных чисел, перед суммой поставить общий знак.

Сложение чисел с разными знаками: модуль суммы равен разности модулей слагаемых, знак суммы совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль.

Вычитание чисел: чтобы вычесть из числа a число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

$a-b=a+(-b)$.

Умножение и деление чисел:

1. произведение (частное) чисел одного знака есть число положительное,
2. произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Правила раскрытия скобок в числовых выражениях и выражениях с переменной

Если перед скобками стоит знак «+», то, раскрывая скобки, можно:

1. опустить скобки и знак «+»,
2. записать слагаемые, стоящие в скобках, сохранив их знаки,
3. если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано без знака, то его нужно записать со знаком «+».

Если перед скобками стоит знак «-», то, раскрывая скобки, можно:

1. опустить скобки и знак «-»,
2. записать слагаемые, стоящие в скобках, поменяв знаки всех слагаемых на противоположные,
3. если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано без знака, то его нужно записать со знаком «-».

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

1. уравнять количество знаков после запятой, записать запятую под запятой,
2. выполнить сложение, вычитание, не обращая внимания на запятую,
3. поставить в ответе запятую под запятой.

Умножение десятичных дробей

1. выполнить действие, не обращая внимания на запятую,
2. отделить в произведении столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих сомножителях вместе.

Деление десятичных дробей

на натуральное число:

1. разделить дробь на число, не обращая внимания на запятую,
2. поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части,
3. если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целыx.

на десятичную дробь:

1. в делимом и делителе запятую перенести на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и выполнить деление десятичной дроби на натуральное число.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Преобразования выражений, включающих арифметические операции», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Преобразования_выражений,_включающих_арифметические_операции» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».