Возведение в степень

Возведение в степень — операция, которая представляет собой повторное умножение числа самого на себя.

В первичном смысле представляет собой обобщение умножения.

Умножаемое число называется основанием степени, а количество множителей, участвующих в операции, — показателем степени.

Натуральный показатель

a в степени натурального z является самой очевидной и определяется просто как

$a^{z}=\underbrace {a\dots a} _{z}.$

Для степени верны свойства:

• $a^{y}a^{z}=a^{y+z};$
• $a^{y}/a^{z}=a^{y-z};$
• $a^{z}b^{z}=(ab)^{z};$
• $a^{z}/b^{z}=(a/b)^{z};$
• $(a^{y})^{z}=a^{yz}.$

Целый показатель

a в степени неположительного целого z представляет собой обобщение при помощи переложения свойства вычитания оснований на более широкий класс. Именно таким образом получаются следующие определения:

$a^{0}{\underset {a\neq 0}{=}}1;$

$a^{z}=1/a^{-z},$

где z — отрицательное целое. При этом, что касается 0⁰, данному математическому объекту можно даже посвятить отдельную статью.

Вещественное возведение

При расширении понятия показателя степени целесообразно выделять два случая — когда основание и показатель вещественны и когда они в общем случае комплексны.

Рациональный показатель

Собственно, объяснение Трушина

При обобщении на рациональный показатель происходит обобщение свойства умножения показателей. Таким образом положительное число a в степени m/n, где m, n — целые, определяется как

$a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}},$

поскольку, возведя обе части равенства в степень n, мы получаем:

$a^{m/n\cdot n}=a^{m}.$.

Если основание окажется отрицательным

Во многих источниках рациональную степень от отрицательного основания называют неопределённой. В некоторых ресурсах это обосновывают тем, что не для всех рациональных чисел таковое может быть определено. Например, выражение

$a^{1/2}={\sqrt[{2}]{a}}$

не имеет смысла в отрицательных числах. Однако, по мнению ютубера Бориса Трушина, причина оказывается более глубокой, чем кажется: дело в том, что если относиться к рациональному показателю как с целостному объекту, не членить его на m и n так, как будто на самом деле они принципиально обособленны друг от друга, и, таким образом, определение показательной функции не должно меняться от того, возьмём ли мы в качестве дроби m/n выражения вида 2m/(2n), 3m/(3n), −4m/(−4n) и так далее. И в этом есть серьёзная проблема, которая начинается, если брать отрицательное основание:

$-1={\sqrt[{3}]{-1}}=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}={\sqrt[{6}]{(-1)^{2}}}={\sqrt[{6}]{1}}=1.$

Правда, при такой трактовке отрицательное основание будет запрещено, даже если показатель целый. Можно считать, что данное определение пригодно только для нецелых рациональных показателей.

Вещественный показатель

Для введения такого понятия используется понятие предела. Предел берётся от выражения

$a^{z_{n}},$

где z_n «пробегает» бесконечную последовательность рациональных чисел, которые на бесконечности стремятся к требуемому вещественному. Чтобы гарантировать, что предел не расходится (то есть не стремится к бесконечности и не «болтается» вокруг какого-то значения, к которому в конечном счёте так и не сможет прийти), можно потребовать, чтобы последовательность из z_n была монотонной. Тогда по свойствам экспонента тоже будет идти монотонно. Тогда по теореме Вейерштрасса, если последовательность монотонна, но ограниченна какой-то гранью (снизу или сверху — в зависимости от характера монотонности), то она точно сходится.

Например,

$2^{\sqrt {5}}$

можно понимать как предел последовательности двоичных экспонент от следующих цепных дробей:

$2+{\frac {1}{4}},\quad 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4}}}}}},\quad 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4}}}}}}}}}},\quad \dots$

Последовательность данных цепных дробей строго убывает и при этом ограничена, например, числом 2. Значит, число

$2^{\sqrt {5}}$

существует.

Комплексное возведение

Рациональный показатель

Комплексное число a в степени m/n, где m, n — целые, определяется так же:

$a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}.$

Правда, в некоторых источниках оговариваются, что нужно делать допущение, что это определение корректно только при взаимной простоте чисел m и n. Если же освободиться от последнего условия, то придётся переопределить функцию как

$a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a}}^{m}.$

Вся проблема в том, что комплексный корень n-й степени |n|-значен, а так как мы хотим относиться к рациональному показателю как с целостному объекту, то первое определение даст свои «роковые плоды», если в качестве дроби m/n рассматривать выражения вида 2m/(2n), 3m/(3n), −4m/(−4n) и так далее.

Комплексный показатель

По причине вышеизложенного обобщать многозначное возведение в рациональную степень в возведение в вещественную степень через пределы бессмысленно — оно окажется бесконечнозначным (!). Таким образом, затруднено и корректное определение возведения в комплексную степень.

По этой причине традиционно под комплексной экспонентой на самом деле понимают лишь её главную ветвь, с которой в комплексном анализе обычно и имеют дело. Для того, чтобы к этому определению прийти, заметим, что при целых z для числа Эйлера верна теорема:

$e^{z}=\lim _{\overset {n\to \infty }{n\in \mathbb {Z} }}(1+1/n)^{zn}=\lim _{\overset {n\to \infty }{n\in \mathbb {Z} }}(1+z/{zn})^{zn}=\lim _{\overset {n\to \infty }{n\in \mathbb {Z} }}(1+z/n)^{n}.$

При обобщении этого равенство на любой комплексный показатель получается определение главной ветви натуральной экспоненты. Можно показать, что этот предел существует и что данная функция действительно всегда является экспонентой.

Для любого комплексного основания a возведение в степень комплексного z, с помощью обобщения свойства умножения показателей, определяется как:

$a^{z}=e^{(\log _{e}a)z},$

где log_e, или ln, — натуральный логарифм, который оказывается многозначной функцией. Например,

$i^{i}=e^{i\ln i}\in \{e^{i\times ({\frac {\tau }{4}}+\tau n)i}\,|\,n\in \mathbb {Z} \}=\{e^{-{\frac {\tau }{4}}+\tau o}\,|\,o\in \mathbb {Z} \}.$

При этом для целого показателя данное определение будет давать ровно единственное значение, которое ровно совпадает с данным выше:

$i^{4}=e^{4\ln i}\in \{e^{4\times ({\frac {\tau }{4}}+\tau n)i}\,|\,n\in \mathbb {Z} \}=\{e^{i(\tau +4\tau o)}\,|\,o\in \mathbb {Z} \}=\{1\}.$

См. также

• Возведение в комплексную степень комплексного числа
• Возведение в степень комплексного числа
• Возведение комплексного числа в степень натурального числа