Фермион

Фермион — частица, с точки зрения квантовой физики подчиняющаяся статистике Ферми — Дирака^[⇨].

О фермионах говорят, как о частицах «с полуцелым (в единицах ħ) спином», хотя не у всякого фермиона величина спина является хорошо определённой.

Примеры

Простые частицы

Из фундаментальных частиц фермионами являются лептоны и (не наблюдаемые в свободном виде) кварки — и те, и другие несут спин 1⁄2. Барионы тоже являются фермионами, но их спин разнится. Впрочем, нуклон имеет всё тот же спин 1⁄2.

Сложные системы

К фермионам относятся ядра с нечётным массовым числом и вообще всякая система, число фермионов в составе которой нечётно. Cистема, число фермионов в составе которой чётно, оказывается бозоном.

Статистика

В термодинамической системе из N невзаимодействующих между собою тождественных фермионов, средняя величина их количества n_i на уровне i оказывается равна:

${\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}\ ,$

где ε_i — энергия уровня i, g_i — число состояний на нём (1 по умолчанию и больше при вырождении), k_B — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Принцип исключения Паули выражается в этом равенстве очевидным фактом, что ${\bar {n}}_{i}\leq g_{i}$.

Это и называется статистикой Ферми — Дирака. В формулу не входит явно число N, но входит химический потенциал μ априори неизвестный, но находимый из условия, что сумма ${\bar {n}}_{i}$ по всем i должна быть равна N. Потенциал μ понижается с ростом температуры. Для сравнения, статистика Бозе — Эйнштейна имеет в знаменателе дроби член «−1» вместо плюса, а «безразличная» к квантовым эффектам статистика Максвелла — Больцмана имеет в этом месте «0» (слагаемое отсутствует). При высокой температуре разница между тремя статистиками не видна, зато в пределе нулевой температуры μ становится энергией Ферми: все состояния с более низкой энергией становятся занятыми, а с более высокой — свободными. Раздел между по большей части занятыми и по большей части свободными состояниями фермиона в подобных (включая ненулевую, хотя низкую, температуру) условиях называют также уровнем Ферми, а также (в импульсном пространстве) поверхностью Ферми.

Коммутационные соотношения

Знак волновой функции для N тождественных бозонов с переставленными аргументами зависит от чётности перестановки; в частности, ψ(x₂, x₁) = −ψ(x₁, x₂). В квантовой теории поля эта перестановочность выражается антикоммутационными соотношениями

$\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0,$

$\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle ,$

где f и g — элементы одночастичного гильбертова пространства.

См. также

• Энрико Ферми
• Поль Адриен Морис Дирак
• Электронная оболочка

Частицы в физике