Перестановки

Пример перестановок из трёх элементов

Перестано́вки в математике — упорядоченное расположение объектов. Перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. О перестановках говорят, когда необходимо определить, сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов. Принято различать перестановки без повторений и с повторениями элементов. Перестановки являются примером простейших комбинаторных конфигураций наряду с размещениями и сочетаниями.

Число перестановок

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначается символом $P_{n}$. Число перестановок равно: $P_{n}=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n=n!$. Здесь n! — факториал числа n.

Если среди прочих в перестановках участвуют неразличимые между собой элементы, то число перестановок из n элементов с повторениями равно: ${\bar {P}}_{n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}}={\frac {n!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot n_{3}!\cdot ...\cdot n_{k}!}}$. Здесь n₁, n₂, n₃, …, n_k — количество элементов вида 1, 2, 3, …, k.

Свойства перестановок

1. Число перестановок из n элементов равно числу размещений из n элементов по n: $P_{n}=A_{n}^{n}=n!$.

2. Формула, связывающая число перестановок с размещениями и сочетаниями: $C_{n}^{m}={\frac {A_{n}^{m}}{P_{n}}}$.

История

Название «перестановка» впервые употребил бельгийский математик Андре Таке в своем учебнике «Теория и практика арифметики» («Arithmeticae theoria et praxis», 1656). Это наименование осталось в математике, благодаря тому, что его принял швейцарский математик Яков Бернулли в трактате «Искусство предположений» («Ars conjectandi», 1713). Этот содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применению, стал своеобразным итогом комбинаторики и теории вероятностей XVII века.

Обозначение перестановок P_n происходит от английского слова «permutation» (перестановка). Оно введено в обиход британским математиком Робертом Поттсом в 1880 году. Однако, такое естественное сокращение, вероятно, встречалось и раньше.

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Перестановки», расположенная по следующим адресам: — «https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Перестановки» — «https://znanierussia.ru/articles/Перестановки» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».