Размещения

Пример размещений без повторений из пяти по три элемента

Пример размещений с повторениями из пяти по три элемента

Размеще́ния в математике — соединения, составленные из n элементов по m различных элементов и отличающиеся друг от друга или каким-либо элементом, или порядком элементов. Размещения, составленные из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком их следования, считаются различными.

К задачам на размещения относятся ситуации, когда нужно выбрать несколько элементов для разных целей или ролей, а также в задачах на расположение, когда элементы различимы. Размещения являются примером простейших комбинаторных конфигураций наряду с перестановками и сочетаниями.

Число размещений

Число размещений из n элементов по m обозначается символом $A_{n}^{m}$ и равно $A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)={\frac {n!}{(n-m)!}}$. Здесь произведение n! = 1⋅2⋅3⋅…⋅n — факториал числа n.

Если допускать в комбинациях повторение одного и того же элемента несколько раз, то число размещений с повторениями будет равно ${\overline {A_{n}^{m}}}=n^{m}$. В отличие от размещений без повторений здесь допустим случай, когда m > n.

Свойства размещений

Размещения обладают следующими свойствами:

1. Число размещений при m = 0 равно единице: $A_{n}^{0}=1$.
2. При m = n число размещений равно числу перестановок порядка n: $A_{n}^{n}=P_{n}=n!$.
3. Число размещений из n элементов по n − 1 равно числу размещений из n элементов по n: $A_{n}^{n-1}=A_{n}^{n}=n!$.

История

Примером комбинаторных задач на подсчёт числа размещений может служить составление магических квадратов, известное ещё в Древнем Китае. Заданные числа необходимо расположить в ячейках квадратной таблицы таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях была одинакова.

Термин «размещение» встречается у швейцарского математика Якова Бернулли, в книге которого «Искусство предположений» («Ars conjectandi», 1713) изложено множество сведений по комбинаторике. Однако, чаще в своих трудах он упоминал название «сочетание вместе с перестановками». Обозначение размещения через $A_{n}^{m}$, произошедшее от латинского слова «arrangement», появилось впервые в 1904 году в статье немецкого математика Ойгена Нетто, чьи работы по комбинаторике, в частности его учебник «Lehrbuch der Combinatorik», послужили одними из первых, посвящённых исключительно этому разделу математики.

Размещения с условиями (без перестановок и с перестановками) детально изучал Леонард Эйлер. В его трудах комбинаторика оформилась окончательно как самостоятельный раздел математики.

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Размещения», расположенная по следующим адресам: — «https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Размещения» — «https://znanierussia.ru/articles/Размещения» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».