Теорема Прингсхейма

Теорема Прингсхейма — даёт достаточные условия существования особой точки на границе круга сходимости степенного ряда.

Следствия из теоремы используются в комбинаторике и в теореме Фробениуса — Перрона о положительных операторах на упорядоченных векторных пространствах, в теории сходимости рядов Фурье.

Была впервые сформулирована и доказана А. Прингсхаймом.

Формулировка

Если коэффициенты ряда $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ с единичным кругом сходимости суть действительные неотрицательные числа $a_{n}\geqslant 0$, то точка $z=1$ является особой для суммы ряда.

Доказательство

Рассмотрим какую-нибудь точку $z_{1}=x$ на радиусе O1. Для того, чтобы точка $z=1$ была правильной для суммы ряда, должно выполняться неравенство

$\Delta =1-x<{\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }{\left({\frac {|f^{(n)}(x)|}{n!}}\right)}^{\frac {1}{n}}}}.$

Рассмотрим произвольную точку $\zeta$ единичной окружности. Пусть $z_{1}$ - точка радиуса O $\zeta$, находящаяся на окружности $|z|=x$. Тогда для $z_{1}$ расстояние $\Delta$ до единичной окружности будет равно $1-x$. Также:

$|f^{(n)}(z_{1})|=|a_{n}+{\frac {n+1}{1}}a_{n+1}z_{1}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2!}}a_{n+2}z_{1}^{2}\ +...|\leqslant$

$\leqslant a_{n}+{\frac {n+1}{1}}a_{n+1}z_{1}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2!}}a_{n+2}z_{1}^{2}\ +...=f^{(n)}(x).$

Таким образом:

${\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }{\left({\frac {|f^{(n)}(z_{1})|}{n!}}\right)}^{\frac {1}{n}}}}\geqslant {\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }{\left({\frac {|f^{(n)}(x)|}{n!}}\right)}^{\frac {1}{n}}}}$

Поэтому для точки $z_{1}$ получаем:

$\Delta <{\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }{\left({\frac {|f^{(n)}(z_{1})|}{n!}}\right)}^{\frac {1}{n}}}},$

из этого следует, что для суммы ряда $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ любая точка единичной окружности является правильной.

Получаем противоречие с условием доказываемой теоремы о том, что единичная окружность является границей круга сходимости. Следовательно, точка $z=1$ является особой точкой для суммы ряда $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ при условиях $a_{n}\geqslant 0$ и $R=1$.

См. также

• Особая точка
• Круг сходимости
• Теорема Слешинского — Прингсхайма

Литература

• А. И. Маркушевич Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1966. — 387 с.