Теорема Прингсхейма

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Прингсхейма — даёт достаточные условия существования особой точки на границе круга сходимости степенного ряда.

Следствия из теоремы используются в комбинаторике[1] и в теореме Фробениуса — Перрона о положительных операторах на упорядоченных векторных пространствах[2][3], в теории сходимости рядов Фурье[4].

Была впервые сформулирована и доказана А. Прингсхаймом.

Формулировка[править]

Если коэффициенты ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}} с единичным кругом сходимости суть действительные неотрицательные числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{n} \geqslant 0} , то точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = 1} является особой для суммы ряда.

Доказательство[править]

Рассмотрим какую-нибудь точку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{1} = x} на радиусе O1. Для того, чтобы точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=1} была правильной для суммы ряда, должно выполняться неравенство[5]

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta = 1 - x < \frac {1}{ \lim\limits_{n \to \infty} {\left(\frac{|f^{(n)}(x)|}{n!}\right)}^{\frac{1}{n}} }.}

Рассмотрим произвольную точку единичной окружности. Пусть - точка радиуса O , находящаяся на окружности . Тогда для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{1}} расстояние Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta} до единичной окружности будет равно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-x} . Также:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |f^{(n)}(z_{1})| = | a_{n} + \frac{n+1}{1}a_{n+1}z_{1} + \frac{(n+1)(n+2)}{2!}a_{n+2}z_{1}^{2}\ + ... | \leqslant}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leqslant a_{n} + \frac{n+1}{1}a_{n+1}z_{1} + \frac{(n+1)(n+2)}{2!}a_{n+2}z_{1}^{2}\ + ... = f^{(n)} (x).}

Таким образом:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {1}{ \lim\limits_{n \to \infty} {\left(\frac{|f^{(n)}(z_{1})|}{n!}\right)}^{\frac{1}{n}} } \geqslant \frac {1}{ \lim\limits_{n \to \infty} {\left(\frac{|f^{(n)}(x)|}{n!}\right)}^{\frac{1}{n}} }}

Поэтому для точки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_{1}} получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta < \frac {1}{ \lim\limits_{n \to \infty} {\left(\frac{|f^{(n)}(z_{1})|}{n!}\right)}^{\frac{1}{n}} },}

из этого следует, что для суммы ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}} любая точка единичной окружности является правильной.

Получаем противоречие с условием доказываемой теоремы о том, что единичная окружность является границей круга сходимости. Следовательно, точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=1} является особой точкой для суммы ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}} при условиях Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{n} \geqslant 0} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = 1} [6].

См. также[править]

Источники[править]

  1. ↑ Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 0-521-89806-4
  2. ↑ Samuel Karlin and H. M. Taylor. "A First Course in Stochastic Processes." Academic Press, 1975 (second edition). Samuel Karlin. "Mathematical Methods and Theory in Games, Programming, and Economics." Dover Publications, 1992. ISBN 978-0-486-67020-1.
  3. ↑ Schaefer Helmuth H. Topological vector spaces. — New York: Springer-Verlag, 1971. — Т. 3. — ISBN 0-387-98726-6.
  4. ↑ Б. И. Голубов. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной обобщенной вариации. / Sibirskij matematiceskij zurnal (1974) Volume: 15, Issue: 4, page 767-783 ISSN: 0037-4466; 1573-9260/e
  5. ↑ Маркушевич, 1966, с. 316.
  6. ↑ Маркушевич, 1966, с. 317.

Литература[править]

  • А. И. Маркушевич Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1966. — 387 с.
Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Теорема_Прингсхейма&oldid=1280559