Теория гиперслучайных явлений

Теория гиперслучайных явлений — физико-математическая теория, описывающая физический феномен статистической устойчивости (Statistical stability) реальных массовых явлений (физических событий, величин, процессов и полей) с учетом ограниченного характера феномена статистической устойчивости. Развивается в работах И. И. Горбаня.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования теории гиперслучайных явлений являются реальные физические явления — события, величины, процессы и поля, а предметом исследования — нарушения статистической устойчивости характеристик и параметров реальных физических явлений.

В теории гиперслучайных явлений основными математическими моделями являются гиперслучайное событие, гиперслучайная величина и гиперслучайная функция, под которыми подразумеваются соответственно множество не связных между собой случайных событий, случайных величин и случайных функций, рассматриваемые как единое целое.

Гиперслучайное явление характеризуется не определенной вероятностной мерой, а множеством мер. Благодаря использованию множества мер оказывается возможным описывать не только массовые события, относительные частоты которых имеют предел при неограниченном увеличении числа реализаций, но также и любые массовые явления, относительные частоты которых предела не имеют.

История вопроса

В настоящее время известны две теории, описывающие феномен статистической устойчивости: классическая теория вероятностей и теория гиперслучайных явлений.

Гипотеза идеальной статистической устойчивости

Современная теория вероятностей описывает реальные массовые явления с помощью случайных (вероятностных, стохастических) математических моделей, характеризуемых вероятностной мерой. Эти модели основаны на физической гипотезе идеальной статистической устойчивости. Эта гипотеза предполагает, что последовательность относительных частот $p_{1}(A),p_{2}(A),\ldots$ любого реального события $A$ стремится к определенной величине $P(A)$ (вероятности) и последовательность выборочных средних $y_{1},y_{2},\ldots$ дискретной выборки любого реального процесса имеет некоторый предел $m$, то есть $\lim _{n\to \infty }p_{n}=P(A)$, $\lim _{n\to \infty }y_{n}=m$. Другими словами, предполагается, что имеют место сходимость относительных частот реальных событий и сходимость выборочных средних реальных физических величин и процессов.

Нарушение статистической устойчивости реальных физических явлений

Многие годы гипотеза идеальной статистической устойчивости не вызывала сомнений, хотя некоторые ученые (даже А. Н. Колмогоров (1903—1987) и такие известные ученые как А. А. Марков (1856—1922), А. В. Скороход (1930—2011), Э. Борель (1871—1956), В. Н. Тутубалин и др.) обращали внимание, что в реальном мире эта гипотеза справедлива лишь с определенными оговорками.

В литературе встречаются утверждения, что возможности описания реальных массовых явлений с помощью теории вероятностей ограничены.

В работе Горбаня заявляется, что экспериментальные исследования различных процессов разной физической природы на больших интервалах наблюдения показывают, что гипотеза идеальной статистической устойчивости не находит экспериментального подтверждения

Реальный мир постоянно меняется. Изменения происходят на всех уровнях, в том числе и статистическом. Статистические оценки, сформированные на относительно небольших интервалах наблюдения, обладают относительной стабильностью. Проявляется она в том, что при увеличении объема статистических данных уровень флуктуаций значений оценок уменьшается. Это создает иллюзию идеальной статистической устойчивости. Однако, начиная с некоторого критического объема, при увеличении количества данных уровень флуктуаций практически не меняется, а иногда даже растет. Это обстоятельство указывает на неидеальный характер статистической устойчивости.

Нарушение статистической устойчивости в реальном мире означает, что понятие вероятности не имеет физической интерпретации. Вероятность оказывается математической абстракцией.

Причины нарушения статистической устойчивости

Нарушения статистической устойчивости вызываются разными причинами. Существенную роль играют приток в открытую систему извне вещества, энергии и (или) информации, питающий неравновесные процессы, различные нелинейные преобразования, низкочастотная линейная фильтрация особого вида и др.

Установлено, что статистическая устойчивость процесса определяется его спектральной плотностью мощности и при низкочастотной фильтрации идеальный широкополосный стационарный статистически устойчивый шум может трансформироваться в статистически неустойчивый процесс.

Исследование нарушений статистической устойчивости и поиск эффективных способов адекватного описания реальных явлений окружающего мира с учетом этих нарушений привели И. И. Горбаня к построению новой физико-математической теории гиперслучайных явлений.

Термин «гиперслучайное явление» было введено И. И. Горбанем в 2005 г., хотя основополагающие идеи теории гиперслучайных явлений начали формироваться, начиная с конца 1970-х годов.

Общая характеристика теории гиперслучайных явлений

Теория гиперслучайных явлений содержит математическую и физическую компоненты.

Математическая составляющая теории гиперслучайных явлений

Математическая составляющая теории гиперслучайных явлений основана на классических аксиомах теории вероятностей А. Н. Колмогорова. Ее основными математическими объектами (моделями) являются гиперслучайные явления, в частности, гиперслучайные события, гиперслучайные величины и гиперслучайные функции. Под ними подразумеваются соответственно множества не связных между собой случайных событий, случайных величин и случайных функций, рассматриваемые как единое целое.

Гиперслучайное событие описывается тетрадой $(\Omega ,\Im ,G,P_{g})$, где $\Omega$ — пространство элементарных событий $\omega$ в $\Omega$, $\Im$ — борелевское поле, $G$ — множество условий $g\in G$ и $P_{g}$ — вероятностная мера подмножества событий, зависящая от условия $g$. В этой конструкции вероятностная мера определена для всех подмножеств событий и всех условий $g$ множества $G$. При этом мера для условий $g$ множества $G$ не определена.

Используя более наглядный статистический подход, гиперслучайное событие $A$ может быть интерпретировано как событие, относительная частота которого $p_{N}(A)$ не стабилизируется при неограниченном увеличении числа $N$, то есть относительная частота не имеет предела при $N\to \infty .$

Случайное явление исчерпывающе описывается функцией распределения, а гиперслучайное явление — множеством условных функций распределения. Случайная величина $X$, например, исчерпывающе характериуется функцией распределения $F(x)$, а гиперслучайная величина $X=\{X/g\in G\}$ — множеством условных функций распределения ${\tilde {F}}(x)=\{F(x/g),\,\,g\in G\}$ (тильда указывает на то, что соответсвующая функция является многозначной).

Менее полное описание гиперслучайной величины дает множество различных характеристик и параметров, в частности, верхняя $\displaystyle F_{S}(x)=\sup _{g\in G}F(x/g)$ и нижняя $\displaystyle F_{I}(x)=\inf _{g\in G}F(x/g)$ границы функции распределения, центральные и начальные моменты границ, границы моментов и пр.

Физическая составляющая теории гиперслучайных явлений

Физическая составляющая теории гиперслучайных явлений базируется на двух физических гиперслучайных гипотезах адекватности:

• гипотезе ограниченной статистической устойчивости реальных событий, величин, процессов и полей и
• гипотезе адекватного описания реальных физических явлений гиперслучайными моделями.

Предположение, что эти гипотезы справедливы для широкого круга массовых явлений, ведет к принятию новой концепции устройства мира: его устройству на гиперслучайных принципах. Основополагающую роль в ней отводится ограниченной статистической устойчивости.

Теория гиперслучайных явлений с математической и физической точек зрения

Математики рассматривают теорию гиперслучайных явлений как ветвь теории вероятностей, а физики и инженеры — как новую теорию, основанная на новых представлениях об устройстве окружающего мира.

Связь гиперслучайных моделей с другими моделями

Случайная величина может рассматриваться как гиперслучайная величина особого типа, у которой границы функции распределения совпадают: ${\tilde {F}}(x)=F_{S}(x)=F_{I}(x)=F(x)$. Детерминированная величина (константа) $x_{0}$ приближенно может быть представлена вырожденной случайной (или гиперслучайной) величиной, у которой функция распределения $F(x)$ имеет единичный скачок в точке $x_{0}$. Интервальная величина, характеризуемая границами $x_{1}$, $x_{2}$ интервала, может интерпретироваться как гиперслучайная величина, у которой границы функции распределения $F_{S}(x)$, $F_{I}(x)$ имеют единичные скачки в точках $x_{1}$ и $x_{2}$.

Таким образом, гиперслучайная величина представляет собой обощение понятий детерминированной, случайной и интервальной величин.

В настоящее время известно множество математических теорий, использующих подход неопределенности и приближенных рассуждений (uncertainty approach и approximate reasoning). К ним относятся, в частности, теория неопределенных вероятностей (imprecise probability theory), интервального анализа, теория интервальной вероятности (interval probability theory), робастного байесовского анализа (robust Bayesian analysis), теория вероятностных границ (probability box theory), робастная теория Неймана-Пирсона (robust Neyman-Pearson theory), робастная статистика Хьюберта (Huber’s robust statistics), и др.

Математические модели, используемые в этих теориях, как утверждает автор теории гиерслучайных явлений И. И. Горбань, близки или являются частными случаями гиперслучайных моделей.

Гиперслучайные модели учитывают различные типы неопределенности, что предоставляет широкие возможности для моделирования физических явлений разного типа.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема при нарушении статистической устойчивости

Факт нарушения статистической устойчивости проявляется в статистических свойствах физических явлений, в частности, описываемых законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Исследования показывают, что как при отсутствии, так и при наличии нарушений статистической устойчивости выборочное среднее случайной выборки стремится к среднему математических ожиданий. Однако при отсутствии нарушений статистической устойчивости выборочное среднее сходится к определенному числу, а при нарушении устойчивости — флуктуирует в пределах определенного интервала.

В общем случае предельное среднее случайной выборки может представлять собой число, случайную величину, интервал или гиперслучайную величину с непрерывной зоной неопределенности, ограниченную кривыми, состоящими из фрагментов гауссовских кривых.

Практические аспекты теории гиперслучайных явлений

Объяснение причины ограниченной потенциальной точности измерений

Согласно классической концепции измерения, предложенной еще Галилео Галилеем, измеряемая физическая величина адекватно описывается однозначной детерминированной величиной, а результат измерения — случайной величиной. При этом погрешность измерения состоит из двух компонент: систематической и случайной.

Согласно теории вероятностей, при устремлении объема выборки к бесконечности случайная составляющая стремится к нулю и в целом погрешность — к систематической составляющей. И. И. Горбань утверждает, что это не происходит на практике, а несоответствие выводов теории и практики связано с идеализацией феномена статистической устойчивости.

В рамках гиперслучайной парадигмы погрешность измерения носит гиперслучайный характер и поэтому адекватно описывается гиперслучайной величиной. В общем случае выделить в гиперслучайной погрешности отдельные составляющие не удается. В одном из простейших случаев погрешность можно разделить на систематическую, случайную и неопределенную (непрогнозируемую), описываемую интервальной величиной. При устремлении объема выборки к бесконечности гиперслучайная погрешность сохраняет гиперслучайный характер, что объясняет ограниченную потенциальную точность измерений.

Нарушением статистической устойчивости автор теории объясняет почему при использовании большого объема экспериментальных данных точность измерения и прогнозирования практически не зависит от объема этих данных и др.

Использование теории гиперслучайных явлений

Результаты экспериментальных исследований, проводимых в рамках теории гиперслучайных явлений, указывают на то, что, по всей видимости, физический мир подчиняется трем видам законов:

• детерминированным,
• статистически прогнозируемым (случайным, стохастическим или, иначе, вероятностным) и
• статистически непрогнозируемым.

При небольшом объеме выборки действие статически непрогнозируемых законов практически не сказывается на результатах измерения физических величин. Это обуславливает возможность эффективного применения классических стохастических моделей и статистических методов теории вероятностей для решения большого количества прикладных задач.

При больших же объемах выборки, когда нарушение статистической устойчивости проявляется явно, использование классических вероятностных моделей приводит к недопустимо большим погрешностям. Тогда гиперслучайные модели имеют явное преимущество перед стохастическими моделями.

Гиперслучайные модели могут быть эффективно использованы для моделирования различных физических событий, величин, процессов и полей, когда из-за небольшого объема статистического материала не удается получить качественные оценки параметров и характеристик, а возможно лишь оценить границы, в которых они находятся.

Гиперслучайные модели, в отличие от случайных, теоретически пригодны для описания физических явлений, как на больших, так и малых интервалах наблюдения, как в случае больших, так и малых выборок. Однако гиперслучайные модели сложнее случайных. Поэтому при равных возможностях применения предпочтение следует отдавать случайным моделям и использовать гиперслучайные модели лишь тогда, когда случайные модели не обеспечивают адекватное описание действительности.

Некоторые примеры использования теории гиперслучайных явлений при проектировании радиоэлектронной техники описаны в работах Б. М. Уварова и Ю. Ф. Зиньковского.

Литература

• Горбань И. И., Теория гиперслучайных явлений, — К.: ИПММС НАН Украины, 2007. — 184 с. — ISBN 978-966-02-4367-5.