Угловой спектр плоских волн

Общий вид геометрии дифракционной задачи

Угловой спектр плоских волн (англ. angular spectrum method; angular spectrum of plane waves) — одна из возможных формулировок скалярной теории дифракции в рамках волнового приближения Гюйгенса — Френеля, которая обеспечивает нахождение решения в виде инвариантного относительно времени двумерного линейного фильтра (или, для сложных задач, — последовательности таких линейных фильтров). Ключевой идеей такого подхода является отождествление распределения комплексного поля с суперпозицией элементарных плоских волн, которые распространяются в различных направлениях и дают свой вклад с учётом фазового набега в каждой конкретной точке регистрируемого двумерного сигнала.

Постановка задачи

В качестве примера, можно взять случай когерентной электромагнитной волны в свободном пространстве, которая создана произвольной комбинацией монохроматических источников. Предположим, что эта волна распространяется в положительном направлении оси Z, которая перпендикулярна осям X и Y. Тогда, в некоторой плоскости распределение фаз и амплитуд падающей волны считается известным. Не умаляя общности, эту плоскость можно разместить в координате z = 0. Действуя в рамках скалярной теории дифракции требуется отыскать распределение поля, сформированного на аналогичной плоскости, параллельной первой и находящейся от неё на расстоянии D (иными словами — в плоскости с координатами z = D).

Формулировка решения

В свете данных условий уравнение Гельмгольца запишется в следующем виде:

$(\nabla ^{2}+k^{2})U(r)=0$

где:

$U(r)=U(x,y,z)$ — скалярная комплексная амплитуда электромагнитного поля, а k — волновое число.

Традиционным подходом к решению подобных задач является применение метода Кирхгофа с выбором соответствующей задаче функции Грина. Однако поиск решения в виде углового спектра плоских волн позволяет значительно упростить процесс расчёта.

Для этих целей можно представить двумерное распределение поля на плоскости z = 0 в виде двумерного интеграла Фурье:

$U(x,y,0)=\iint \limits _{-\infty }^{\infty }A(f_{x},f_{y},0)e^{j2\pi (xf_{x}+yf_{y})}df_{x}df_{y}$

Которое обращается обратным преобразованием Фурье следующего вида:

$A(f_{x},f_{y},0)=\iint \limits _{-\infty }^{\infty }U(x,y,0)e^{-j2\pi (xf_{x}+yf_{y})}dxdy$

Если дополнить функцию $A(f_{x},f_{y},0)$ временным множителем (который здесь опущен), то она будет представлять из себя распределение в плоскости z = 0 комплексной амплитуды плоской волны с направляющими косинусами $(f_{x},f_{y},0)$. В свете этого функцию $A(f_{x},f_{y},0)$ называют угловым спектром плоских волн электромагнитного поля $U(x,y,0)$.

Исходя из свойств преобразования Фурье можно показать, что угловой спектр будет иметь вид свёртки углового спектра падающего поля и спектра коэффициента пропускания экрана.

Зная, что электромагнитное поле $U(x,y,0)$ удовлетворяет уравнению Гельмгольца во всех точках свободного пространства, можно записать его в виде:

$(\nabla ^{2}U(x,y,z)+k^{2}U(x,y,z)=0$

Подставляя в уравнение Гельмголца выражение для электромагнитного поля $U(x,y,z)$ через угловой спектр плоских волн $A(f_{x},f_{y},z)$ можно получить для него следующее уравнение:

${d^{2} \over dz^{2}}A(f_{x},f_{y},z)+(k^{2}-4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}))A(f_{x},f_{y},z)=0$

Это уравнение имеет частное решение, которое соотвествует волне, распространяющейся в положительном направлении оси z, вида:

$A(f_{x},f_{y},z)=A(f_{x},f_{y},0)e^{j\mu z}$, в котором $\mu ={\sqrt {k^{2}-4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}}$

Что позволяет выразить искомое поле $U(x,y,z)$ в произвольной плоскости z = D через угловой спектр плоских волн, известный для плоскости z = 0 следующим образом:

$U(x,y,D)=\iint \limits _{-\infty }^{\infty }A(f_{x},f_{y},0)e^{jD{\sqrt {k^{2}-4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}}}e^{j2\pi (xf_{x}+yf_{y})}df_{x}df_{y}$

Анализ данного уравнения показывает, что распространение волны в свободном пространстве эквиваленто линейному двумерному фильтру, который имеет передаточную функцию следующего вида:

$H(f_{x},f_{y},z)={\begin{cases}e^{jz{\sqrt {k^{2}-4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}}}&{\mbox{если }}k^{2}>4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})\\0&{\mbox{во всех остальных случаях}}\end{cases}}$

Таким образом, угловой спектр по мере удаления точки наблюдения от амплитудно-фазового экрана z = 0 трансформируется: при $k^{2}>4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})$ это изменение связано с суперпозицией элементарных плоских волн со сдвигом фаз между ними, а при $k^{2}<4\pi ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})$ наблюдаются плоские неоднородные волны, амплитуда которых затухает экспоненциально при удалении от z = 0.

Литература

• Виноградова, Марианна Брониславовна; Руденко, Олег Владимирович; Сухоруков, Анатолий Петрович Теория волн. — 2-е. — М. : Наука, 1990. — ББК 537.86(075.8). — УДК 22.33 В49. — ISBN 5-02-014050-3.
• Гудмен, Дж. Введение в фурье-оптику / Г. И. Косоурова. — М. : «Мир», 1970. — УДК 535.
• Стюард, И. Г. Введение в фурье-оптику / В. И. Костенко. — М. : «Мир», 1985. — 182 с. — ББК 22.34 С 88. — УДК 52 + 53.
• Применение методов фурье-оптики / Г. Старк. — М. : «Радио и связь», 1988. — 536 с. — УДК 534.3. — ISBN 5-256-00051-9.
• Ersoy, Okan K. Diffraction, Fourier Optics and Imaging : [англ.]. — John Wiley & Son, 2007. — ISBN 978-0-471-23816-4.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Угловой спектр плоских волн», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Угловой_спектр_плоских_волн» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».