Формулы для правильного двенадцатиугольника

Правильный двенадцатиугольник (додекагон)

Правильный двенадцатиугольник (додекагон) — выпуклый многоугольник с 12 равными сторонами.

Определение

Правильный двенадцатиугольник — двенадцатиугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон, n=12;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₁₂ — периметр правильного двенадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₁₂ — площадь правильного двенадцатиугольника.

Формулы

Половинный центральный угол

${\text{α}}={\frac {\text{π}}{12}}\Leftrightarrow {\text{α}}=15^{\text{°}}$

Внутренний угол

${\text{β}}={\frac {5{\text{π}}}{6}}\Leftrightarrow {\text{β}}=150^{\text{°}}$

Центральный угол

${\text{γ}}={\frac {\text{π}}{6}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=30^{\text{°}}$

Радиус вписанной окружности

$r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{12}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{12}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{12}}$

Радиус описанной окружности

$R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{12}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{12}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{12}}$

Периметр

$P_{12}=12a$

Площадь

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{12}=3a^2ctg\frac{\text{π}}{12}\Leftrightarrow S_{12}=12S_\text{Δ},\ S_\text{Δ}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{12}\Leftrightarrow S_{12}=\frac{1}{2}P_{12}r\Leftrightarrow S_{12}=6ar\Leftrightarrow S_{12}=12r^2tg\frac{\text{π}}{12}\Leftrightarrow S_{12}=12R^2sin\frac{\text{π}}{12}cos\frac{\text{π}}{12}\Leftrightarrow S_{12}=6R^2sin\frac{\text{π}}{6}}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.