Формулы для правильного девятиугольника

Правильный девятиугольник (эннеагон)

Правильный девятиугольник (эннеагон) — выпуклый многоугольник с 9 равными сторонами.

Определение

Правильный девятиугольник — девятиугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон, n=9;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₉ — периметр правильного девятиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₉ — площадь правильного девятиугольника.

Формулы

Половинный центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{α}=\frac{\text{π}}{9}\Leftrightarrow \text{α}=20^\text{°}}

Внутренний угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{β}=\frac{7\text{π}}{9}\Leftrightarrow \text{β}=140^\text{°}}

Центральный угол

${\text{γ}}={\frac {2{\text{π}}}{9}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=40^{\text{°}}$

Радиус вписанной окружности

$r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{9}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{9}}$

Радиус описанной окружности

$R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{9}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{9}}$

Периметр

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{9}=9a}

Площадь

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{9}=\frac{9a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{9}\Leftrightarrow S_{9}=9S_\text{Δ},\ S_\text{Δ}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{9}\Leftrightarrow S_{9}=\frac{1}{2}P_{9}r\Leftrightarrow S_{9}=\frac{9}{2}ar\Leftrightarrow S_{9}=9r^2tg\frac{\text{π}}{9}\Leftrightarrow S_{9}=9R^2sin\frac{\text{π}}{9}cos\frac{\text{π}}{9}\Leftrightarrow S_{9}=\frac{9}{2}R^2sin\frac{2\text{π}}{9}}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.