Цао Хуайдун

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Цао Хуайдун












Цао Хуайдун (англ. Huai-Dong Cao; [Нет даты!]) — американский математик китайского происхождения. Является профессором математики в Лихайском университете. Известен своими исследованиями потока Риччи в области геометрического анализа.

Академическая карьера[править]

Цао получил степень бакалавра в Университете Цинхуа в 1981 году и степень доктора философии в Принстонском университете в 1986 году под руководством Яу Шинтуна.

Цао — бывший заместитель директора Института чистой и прикладной математики (IPAM) при Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Был приглашённым профессором в Массачусетском технологическом институте, Гарвардском университете, Институте Исаака Ньютона, Институте Макса Планка, Институте высших научных исследований (IHES), Швейцарской высшей технической школе Цюриха и Пизанском университете. С 2003 года является ответственным редактором журнала Journal of Differential Geometry. Среди его наград и отличий:

Вклад в математику[править]

Поток Келера — Риччи[править]

В 1982 году Ричард Гамильтон ввёл понятие потока Риччи, доказав новую теорему о геометрии трёхмерных многообразий[1]. Цао, который только начал работу над докторской диссертацией под руководством Яу Шинтуна, стал изучать поток Риччи в контексте келеровых многообразий. В своей диссертации, опубликованной в 1985 году, он показал, что оценки Яу в решении гипотезы Калаби могут быть адаптированы для потока Келера — Риччи для доказательства теоремы сходимости, аналогичной оригинальному результату Гамильтона[2]. Это также предоставило параболическую альтернативу методу непрерывности Яу в доказательстве гипотезы Калаби, хотя значительная часть технической работы в доказательствах схожа.

Работа Перельмана о потоке Риччи[править]

Следуя предложению Яу о том, что поток Риччи может быть использован для доказательства гипотезы геометризации Уильяма Тёрстона, Гамильтон развивал эту теорию в течение следующих двух десятилетий. В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман опубликовал две статьи на arXiv, в которых представил доказательство гипотезы геометризации с помощью потока Риччи. Кроме того, он опубликовал третью статью, в которой предложил более короткий путь к доказательству гипотезы Пуанкаре, для которого результаты второй половины второй статьи не требовались. Статьи Перельмана были сразу признаны как содержащие новые результаты в теории потока Риччи, хотя многие математики не смогли полностью понять технические детали некоторых сложных или кратких разделов его работы.

Брюс Клайнер из Йельского университета и Джон Лотт из Мичиганского университета начали публиковать аннотации к первым двум статьям Перельмана в интернете в 2003 году, дополняя и изменяя их в течение следующих нескольких лет. Результаты этой работы были опубликованы в научном журнале в 2008 году[3]. Цао сотрудничал с Чжу Сипином из Университета Сунь Ятсена, опубликовав в 2006 году изложение работы Гамильтона и первых двух статей Перельмана, объясняя их в контексте математической литературы по геометрическому анализу. Джон Морган из Колумбийского университета и Тянь Ган из Принстонского университета опубликовали книгу в 2007 году, посвящённую первой и третьей статьям Перельмана, а также первой половине второй статьи; позже они выпустили вторую книгу, посвящённую второй половине второй статьи Перельмана[4][5].

В аннотации к статье Цао и Чжу говорится:

««В этой статье мы приводим полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации. Эта работа опирается на накопленные труды многих специалистов по геометрическому анализу за последние тридцать лет. Это доказательство следует рассматривать как высшее достижение теории потока Риччи Гамильтона — Перельмана».»

а введение начинается словами:

««В этой статье мы представим теорию потока Риччи Гамильтона — Перельмана. На её основе мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона. Хотя полная работа является результатом совместных усилий многих специалистов по геометрическому анализу, главными участниками, несомненно, являются Гамильтон и Перельман».»

Некоторые наблюдатели сочли, что Цао и Чжу преувеличивают значение своей статьи. Кроме того, было обнаружено, что несколько страниц статьи Цао и Чжу похожи на страницы из статьи Клайнера и Лотта, что привело к обвинениям в плагиате. Цао и Чжу заявили, что в 2003 году они делали заметки по этому разделу работы Перельмана из ранних публикаций Клайнера и Лотта, и из-за случайной оплошности не осознали источник заметок при написании своей статьи в 2005 году. Они выпустили исправленную версию своей статьи на arXiv в декабре 2006 года.

Градиентные солитоны Риччи[править]

Градиентный солитон Риччи состоит из риманова многообразия (M, g) и функции f на M, такой что Ricg + Hessg f кратно g. В частном случае, когда M имеет комплексную структуру, g является келеровой метрикой, а градиент f — голоморфным векторным полем, возникает градиентный солитон Келера — Риччи. Солитоны Риччи иногда рассматриваются как обобщения метрик Эйнштейна, которые соответствуют случаю f = 0. Важность градиентных солитонов Риччи для теории потока Риччи была впервые отмечена Гамильтоном во влиятельной статье 1995 года[6]. В анализе Перельмана особенно важны градиентные солитоны Риччи, где постоянный множитель положителен; они называются сжимающимися градиентными солитонами Риччи. Обзор Цао по солитонам Риччи 2010 года широко цитируется.

В 1996 году Цао изучал градиентные солитоны Келера — Риччи с использованием анзаца вращательной симметрии, благодаря чему уравнение солитона Риччи сводится к анализу обыкновенных дифференциальных уравнений. Он показал, что для каждого положительного n существует стационарный градиентный солитон Келера — Риччи на , который является вращательно-симметричным, полным и имеет положительную кривизну. В случае, когда n равно 1, это восстанавливает солитон-сигару Гамильтона. Цао также показал существование стационарных градиентных солитонов Келера — Риччи на тотальном пространстве канонического расслоения над комплексным проективным пространством, которое является полным, вращательно-симметричным и имеет неотрицательную кривизну. Он построил замкнутые примеры сжимающихся градиентных солитонов Келера — Риччи на проективизации некоторых линейных расслоений над комплексным проективным пространством; эти примеры независимо рассматривались Норихито Коисо[7]. Анзац Цао и Коисо получил дальнейшее развитие во влиятельной статье Михаила Фельдмана, Тома Илманена и Дэна Кнопфа, а примеры Цао, Коисо и Фельдмана — Илманена — Кнопфа были объединены и расширены в 2011 году Эндрю Дансером и Маккензи Вангом[8][9].

Используя аргумент Перельмана, Цао и Дэтан Чжоу показали, что полные сжимающиеся градиентные солитоны Риччи имеют гауссов характер, поскольку для любой заданной точки p многообразия M функция f должна расти квадратично по отношению к функции расстояния до p. Кроме того, объём геодезических шаров вокруг p может расти не быстрее полиномиального по отношению к их радиусу. Эти оценки делают возможным проведение интегрального анализа полных сжимающихся градиентных солитонов Риччи, в частности, позволяя использовать e−f в качестве весовой функции.

Основные публикации[править]

Примечания[править]

  1. ↑ Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 255–306.
  2. ↑ Yau, Shing Tung. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I. Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), no. 3, 339–411.
  3. ↑ Kleiner, Bruce; Lott, John. Notes on Perelman's papers. Geom. Topol. 12 (2008), no. 5, 2587–2855.
  4. ↑ Morgan, John; Tian, Gang. Ricci flow and the Poincaré conjecture. Clay Mathematics Monographs, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii+521 pp. ISBN 978-0-8218-4328-4
  5. ↑ Morgan, John; Tian, Gang. The geometrization conjecture. Clay Mathematics Monographs, 5. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x+291 pp. ISBN 978-0-8218-5201-9
  6. ↑ Hamilton, Richard S. The formation of singularities in the Ricci flow. Surveys in differential geometry, Vol. II (Cambridge, MA, 1993), 7–136, Int. Press, Cambridge, MA, 1995.
  7. ↑ Koiso, Norihito. On rotationally symmetric Hamilton's equation for Kähler-Einstein metrics. Recent topics in differential and analytic geometry, 327–337, Adv. Stud. Pure Math., 18-I, Academic Press, Boston, MA, 1990.
  8. ↑ Feldman, Mikhail; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan. Rotationally symmetric shrinking and expanding gradient Kähler-Ricci solitons. J. Differential Geom. 65 (2003), no. 2, 169–209.
  9. ↑ Dancer, Andrew S.; Wang, McKenzie Y. On Ricci solitons of cohomogeneity one. Ann. Global Anal. Geom. 39 (2011), no. 3, 259–292.

Рувики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Цао Хуайдун», расположенная по адресу:

—https://ru.ruwiki.ru/wiki/Цао_Хуайдун

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Цао_Хуайдун&oldid=2702526